Напишите уравнения плоскостей, параллельных плоскости, проходящей через точки M(3; 3; -4), N(5; 0; -2), P(4; 0; 0) и удалённых от неё на расстояние d = 4.

Найдём плоскость, проходящую через точки \( M(3;3;-4) \), \( N(5;0;-2) \), \( P(4;0;0) \).

Составим векторы:

\[ \vec{MN}=(2;-3;2), \quad \vec{MP}=(1;-3;4) \]

Нормальный вектор плоскости найдём как векторное произведение:

\[ \vec{n}=(-6;-6;-3) \]

Можно сократить на \( -3 \):

\[ \vec{n}=(2;2;1) \]

Уравнение исходной плоскости имеет вид:

\[ 2x+2y+z+D=0 \]

Подставим точку \( M(3;3;-4) \):

\[ 2\cdot3+2\cdot3-4+D=0 \]

\[ 8+D=0, \quad D=-8 \]

Исходная плоскость:

\[ 2x+2y+z-8=0 \]

Параллельные ей плоскости имеют вид:

\[ 2x+2y+z+C=0 \]

Расстояние между параллельными плоскостями:

\[ \frac{|C-(-8)|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=4 \]

\[ \frac{|C+8|}{3}=4 \]

\[ |C+8|=12 \]

Отсюда:

\[ C=4 \quad \text{или} \quad C=-20 \]

Ответ:

\[ 2x+2y+z+4=0 \]

\[ 2x+2y+z-20=0 \]

0 0 Пожаловаться