Какие из следующих утверждений верны? 1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. 2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13. 3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным. 4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

1. Неверно. Это утверждение не совсем правильно описывает теорему о косинусах. Согласно теореме о косинусах, квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. То есть, формула выглядит так:
   $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$
   где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между сторонами $b$ и $c$. Утверждение не учитывает удвоенное произведение, поэтому оно неверно.

2. Верно. Это классический пример применения теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника. Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза $c$ вычисляется по формуле:
   $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
   где $a = 5$, $b = 12$, и тогда:
   $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
   Значит, гипотенуза действительно равна 13.

3. Неверно. Чтобы определить, является ли треугольник остроугольным, нужно проверить, что все его углы меньше 90 градусов. Для этого можно использовать теорему о косинусах или проверить, что сумма квадратов любых двух сторон больше квадрата третьей стороны. В данном случае, для треугольника с сторонами 5, 6 и 7, проверяем неравенства:
   $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \quad \text{и} \quad 7^2 = 49$
   Таким образом, сумма квадратов двух сторон больше квадрата третьей, и треугольник не является остроугольным.

4. Верно. В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
   $c^2 = a^2 + b^2$
   Отсюда, если вам нужно найти квадрат одного катета, то можно использовать формулу:
   $a^2 = c^2 - b^2$
   где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты. Это как раз и есть разность квадратов гипотенузы и другого катета.

Итак, верными являются утверждения 2 и 4.