Диагональ BD параллелограмма ABCD параллельна плоскости γ, а лучи AD и AB пересекают эту плоскость в точках М и N соответственно. Докажите, что треугольники DAB и MAN подобны.

Рассмотрим задачу. У нас есть параллелограмм $ABCD$, его диагональ $BD$ параллельна плоскости $\gamma$, а лучи $AD$ и $AB$ пересекают эту плоскость в точках $M$ и $N$ соответственно. Требуется доказать, что треугольники $DAB$ и $MAN$ подобны.

Доказательство:

1. Параллельность диагонали плоскости: По условию диагональ $BD$ параллельна плоскости $\gamma$. Это значит, что любые прямые или отрезки, лежащие на $BD$, не пересекают плоскость $\gamma$, и угол между любой прямой в плоскости $\gamma$ и прямой $BD$ постоянен. Также из этого следует, что точки $B$ и $D$, принадлежащие $BD$, проецируются на плоскость $\gamma$ в одну и ту же точку.

2. Положение точек $M$ и $N$: Точки $M$ и $N$ являются точками пересечения лучей $AD$ и $AB$ с плоскостью $\gamma$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, отрезки $AD$ и $AB$ лежат в одной плоскости (плоскости параллелограмма). Таким образом, треугольники $DAB$ и $MAN$ также лежат в одной плоскости.

3. Определение подобия: Чтобы доказать подобие треугольников $DAB$ и $MAN$, нужно показать, что их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны.

4. Равенство углов:

   • Углы $\angle DAB$ и $\angle MAN$ равны, так как лучи $AD$ и $AB$, пересекающие плоскость $\gamma$, сохраняют направление относительно начальной точки $A$.
   • Аналогично, углы $\angle ABD$ и $\angle ANM$ равны, так как луч $AB$ и его пересечение с $\gamma$ образуют одинаковый угол с любыми прямыми в треугольнике.
   • Угол $\angle ADB$ в треугольнике $DAB$ равен углу $\angle AMN$ в треугольнике $MAN$, так как они образуются при пересечении соответствующих пар лучей.

5. Пропорциональность сторон: Поскольку $BD \parallel \gamma$, длины отрезков $AD$ и $AB$ сохраняют пропорции с длинами отрезков $AM$ и $AN$ (так как точка пересечения плоскости $\gamma$ с лучами делит их пропорционально отношению отрезков в исходном параллелограмме).

6. Вывод о подобии: Таким образом, треугольники $DAB$ и $MAN$ имеют равные углы и пропорциональные стороны, что соответствует определению подобия треугольников.

Заключение:

Треугольники $DAB$ и $MAN$ подобны по первому признаку подобия (равенство углов).