Стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см. Может ли большая диагональ равняться 10 см

Ответы на вопрос

Отвечает Бархатов Вадим.

Для ответа на этот вопрос, давайте разберем его с использованием геометрических соотношений.

Условия задачи

Параллелограмм обладает следующими свойствами:

Его противоположные стороны равны.
Стороны могут иметь любую длину, удовлетворяющую условиям существования параллелограмма.
Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам, но не обязательно равны.

Длины сторон заданы: $a = 3 \, \text{см}$ , $b = 5 \, \text{см}$ . Спрашивается, может ли большая диагональ $d$ быть равной 10 см?

Формула для диагоналей

Длины диагоналей параллелограмма находятся с использованием формулы:

d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2),

где $d_1$ и $d_2$ — диагонали, $a$ и $b$ — стороны параллелограмма.

Более того, длина каждой диагонали $d$ может быть вычислена из теоремы косинусов:

d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta),

где $\theta$ — угол между сторонами $a$ и $b$ .

Проверим возможность

Если диагональ действительно равна $d = 10 \, \text{см}$ , ее квадрат равен:

d^2 = 100.

Теперь подставим в формулу диагоналей:

100 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\theta).

Вычислим:

100 = 9 + 25 - 30 \cos(\theta).

100 = 34 - 30 \cos(\theta).

30 \cos(\theta) = 34 - 100 = -66.

\cos(\theta) = -\frac{66}{30} = -2.2.

Вывод

Косинус угла не может быть меньше -1, поэтому значение $\cos(\theta) = -2.2$ невозможно. Таким образом, диагональ длиной 10 см не может существовать в параллелограмме с заданными сторонами 3 см и 5 см.

Ответ

Нет, большая диагональ параллелограмма с такими сторонами не может равняться 10 см.