Окружность с центром О и радиусом 16 см описана около треугольника АВС так, что угол ОАВ=30 градусов, угол ОСВ=45 градусов. Найдите стороны АВ и ВС

Чтобы найти стороны $AB$ и $BC$ в задаче, воспользуемся свойствами описанной окружности и геометрическими соотношениями. Давайте разберёмся шаг за шагом.

Дано:

1. Окружность с центром $O$ радиуса $R = 16 \, \text{см}$ описана около треугольника $ABC$.
2. Угол $\angle OAB = 30^\circ$.
3. Угол $\angle OCB = 45^\circ$.

Требуется:

Найти длины сторон $AB$ и $BC$.

Решение:

1. Углы в треугольнике и связь с центральными углами

Когда окружность описана около треугольника, углы при вершинах треугольника равны половине соответствующих центральных углов. Это следует из свойства: центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

• $\angle AOB = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
• $\angle BOC = 2 \cdot \angle OCB = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Теперь у нас есть центральные углы:

• $\angle AOB = 60^\circ$,
• $\angle BOC = 90^\circ$.

2. Хорды треугольника через радиус и центральный угол

Стороны треугольника $AB$ и $BC$ являются хордами окружности. Для вычисления длины хорды $l$ существует формула:

где $\alpha$ — центральный угол, под которым видна хорда.

Находим $AB$:

Центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$, значит:

Угол $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$, а $\sin 30^\circ = 0.5$. Тогда:

Находим $BC$:

Центральный угол $\angle BOC = 90^\circ$, значит:

Угол $\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$, а $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда:

Ответ:

• Длина стороны $AB = 16 \, \text{см}$,
• Длина стороны $BC = 16\sqrt{2} \, \text{см}$.