Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС касаются окружности с центром О в точках М, К и Р соответственно так, что ВМ=5 см, РС=7 см, а периметр треугольника АВС равен 32 см. Найдите длину стороны АС

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательных отрезках. В соответствии с этой теоремой, длины касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Это означает, что если точка $B$ соединена с точками касания $M$ и $K$ на окружности, то отрезки $BM$ и $BK$ равны. Аналогично, отрезки $AM = AP$ и $CK = CP$.

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• $AB = c$,
• $BC = a$,
• $AC = b$.

Также обозначим:

• $AM = AP = x$,
• $BM = BK = y$,
• $CK = CP = z$.

Из условия задачи нам даны следующие значения:

• $BM = 5$ см, значит $BK = 5$ см,
• $CP = 7$ см, значит $CK = 7$ см,
• Периметр треугольника $ABC$ равен 32 см.

Запишем периметр треугольника $ABC$ в виде суммы его сторон:

Поскольку $AB = AM + BM = x + y$, $BC = BK + CK = y + z$, а $AC = AP + CP = x + z$, то подставим эти выражения в формулу периметра:

Упростим выражение, сгруппировав подобные слагаемые:

Разделим обе стороны уравнения на 2:

Теперь подставим известные значения $y = 5$ и $z = 7$ в это уравнение:

Отсюда находим $x$:

Теперь мы можем найти длину стороны $AC$, которая выражается как $AC = AP + CP = x + z$. Подставим найденные значения:

Ответ: длина стороны $AC$ равна $11$ см.