Окружность с центром O радиуса 12 см описана около треугольника MNK так, что угол MON =120 градусов, угол NOK= 90 градусов. Найдите длины сторон MN и NK треугольника.

Для решения задачи воспользуемся свойствами окружности, описанной вокруг треугольника, и теоремой синусов.

1. Дано:

   • Окружность с центром $O$ описана около треугольника $MNK$.
   • Радиус окружности $R = 12$ см.
   • Углы $\angle MON = 120^\circ$ и $\angle NOK = 90^\circ$.

2. Цель:

   • Найти длины сторон $MN$ и $NK$ треугольника $MNK$.

Шаг 1: Определение углов треугольника

Так как $O$ — центр окружности, то углы $MON$ и $NOK$ являются центральными углами, соответствующими дугам $MN$ и $NK$ соответственно.

Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Поэтому:

• Угол $\angle MON = 120^\circ$ соответствует вписанному углу $\angle MKN = 60^\circ$.
• Угол $\angle NOK = 90^\circ$ соответствует вписанному углу $\angle MNK = 45^\circ$.

Таким образом, третий угол треугольника $\angle NMK$ можно найти из суммы углов треугольника:

Теперь мы знаем углы треугольника $MNK$: $\angle MNK = 45^\circ$, $\angle MKN = 60^\circ$, $\angle NMK = 75^\circ$.

Шаг 2: Применение теоремы синусов

Для треугольника, описанного вокруг окружности, длины сторон можно найти с помощью теоремы синусов:

Подставляя радиус $R = 12$ см:

Теперь можем выразить стороны $MN$ и $NK$ через известные углы:

Шаг 3: Вычисления

Подставим значения синусов:

• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$
• $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ$

Значения синусов и косинусов:

• $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$
• $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$
• $\sin 30^\circ = 0{,}5$

Тогда:

Теперь найдём длины сторон: