Два противоположных угла трапеции равны 60° и 120". найдите боковые стороны этой трапеции, если ее основания равны 3 и 5​

Для решения задачи, где дана трапеция с углами 60° и 120°, а основания равны 3 и 5, воспользуемся геометрическими свойствами трапеции.

Дано:

• Основания трапеции: $a = 5$ (большее основание), $b = 3$ (меньшее основание).
• Углы при одном основании: $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 120^\circ$.

Требуется найти длины боковых сторон трапеции ($AD$ и $BC$).

Решение:

1. Свойства трапеции: Трапеция с углами 60° и 120° около одного из оснований является произвольной трапецией, но поскольку два угла при одном основании даны, можно провести высоты из концов меньшего основания $b$ на большее основание $a$. Это поможет разбить трапецию на две прямоугольные трапеции и прямоугольник.

2. Расположение трапеции: Уложим трапецию так, чтобы большее основание $a = 5$ лежало снизу, а меньшее $b = 3$ было параллельно ему сверху.

3. Проведение высот: Пусть высоты трапеции $h$ опускаются из концов меньшего основания на большее основание. Они разобьют большее основание на три части:

   • Центральная часть равна длине меньшего основания $b = 3$,
   • По бокам отрезки $x$ и $y$ (находятся симметрично, так как углы разные).

   Тогда $x + b + y = a$, откуда:

   $$x + y = a - b = 5 - 3 = 2.$$

4. Нахождение боковых сторон: Для углов $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 120^\circ$ можно выразить $x$ и $y$ через высоту $h$ и тангенсы углов:

   • Для $\alpha = 60^\circ$: $\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\tan 60^\circ} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
   • Для $\beta = 120^\circ$: $\tan 120^\circ = -\tan 60^\circ$, поэтому $y = \frac{h}{\sqrt{3}}$.

   Из суммы $x + y = 2$:

   $$\frac{h}{\sqrt{3}} + \frac{h}{\sqrt{3}} = 2 \Rightarrow \frac{2h}{\sqrt{3}} = 2 \Rightarrow h = \sqrt{3}.$$

5. Длины боковых сторон: Теперь, используя высоту $h$ и углы, найдем боковые стороны:

   • Для $AD$: $AD = \sqrt{x^2 + h^2}$, где $x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$: $$AD = \sqrt{x^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2.$$
   • Для $BC$: $BC = \sqrt{y^2 + h^2}$, где $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$