Через точку К пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям трапеции,

Ответы на вопрос

Отвечает Земскова Даша.

Обозначим основания трапеции: меньшее основание = $a$ , большее = $b$ , где $a$ .

Из свойства трапеции известно: точка пересечения диагоналей $K$ делит диагонали в отношении, равном основаниям:

\frac{3}{5} = \frac{a}{b}

Отсюда:

a:b = 3:5

Расположим трапецию так, чтобы основания были горизонтальны. Тогда высота точки $K$ от большего основания равна:

y_K = \frac{b}{a+b} \, h

Подставим $a:b = 3:5$ :

y_K = \frac{5}{8}h

Значит:

Длина сечения, параллельного основаниям, изменяется линейно. В точке $K$ она равна:

L_K = \frac{2ab}{a+b}

Подставим $a=3, b=5$ :

L_K = \frac{2\cdot 3\cdot 5}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}

Это трапеция с основаниями $b$ и $L_K$ , высотой $\frac{5}{8}h$ :

S_1 = \frac{b + L_K}{2}\cdot \frac{5}{8}h

Это трапеция с основаниями $a$ и $L_K$ , высотой $\frac{3}{8}h$ :

S_2 = \frac{a + L_K}{2}\cdot \frac{3}{8}h

Искомое отношение:

\frac{S_2}{S_1} = \frac{a(a+3b)}{b(b+3a)}

Подставим $a=3$ , $b=5$ :

\frac{S_2}{S_1} = \frac{3^2(3+15)}{5^2(5+9)} = \frac{9\cdot 18}{25\cdot 14} = \frac{162}{350} = \frac{81}{175}

\boxed{81:175}

Ответы на вопрос