1. Аксиома параллельных прямых. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Параллельными прямыми называют две различные прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Обозначение: $a \parallel b$.

Секущая — это прямая, которая пересекает две данные прямые в разных точках.

Аксиома параллельных прямых

В школьной формулировке аксиома звучит так:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести и притом только одну прямую, параллельную данной.

Иными словами, если дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая ей, то через $M$ существует единственная прямая $b$, для которой $b \parallel a$.

Эта аксиома является основой евклидовой геометрии. На ней строятся свойства углов, возникающих при пересечении параллельных прямых секущей.

Углы, образованные двумя прямыми и секущей

Пусть $a \parallel b$, а прямая $c$ пересекает их. Получается восемь углов.

Для удобства обычно нумеруют их так:

        1   /   2
a ────────A────────
        4 /    3
          /
        5 /    6
b ────────B────────
        8 /    7

Здесь $c$ — секущая, $A$ и $B$ — точки пересечения.

Выделяют следующие пары углов.

• Соответственные углы занимают одинаковое положение относительно секущей и параллельных прямых:
  $\angle 1$ и $\angle 5$,
  $\angle 2$ и $\angle 6$,
  $\angle 3$ и $\angle 7$,
  $\angle 4$ и $\angle 8$.

• Накрест лежащие углы находятся между параллельными прямыми, но по разные стороны от секущей:
  $\angle 3$ и $\angle 5$,
  $\angle 4$ и $\angle 6$.

• Односторонние углы находятся между параллельными прямыми и по одну сторону от секущей:
  $\angle 3$ и $\angle 6$,
  $\angle 4$ и $\angle 5$.

Теоремы об углах при параллельных прямых

1. Теорема о накрест лежащих углах

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

То есть при $a \parallel b$:

Например, если один из накрест лежащих углов равен $65^\circ$, то другой также равен $65^\circ$.

2. Теорема о соответственных углах

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Следовательно:

Например, если $\angle 2 = 120^\circ$, то $\angle 6 = 120^\circ$.

3. Теорема об односторонних углах

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

То есть:

Например, если один односторонний угол равен $72^\circ$, то второй равен:

Углы вне полосы между параллельными прямыми

Кроме внутренних углов, можно рассматривать внешние.

• Накрест лежащие внешние углы равны:

• Односторонние внешние углы в сумме дают $180^\circ$:

Эти свойства следуют из равенства вертикальных углов и из того, что смежные углы имеют сумму $180^\circ$.

Признаки параллельности прямых

Теоремы имеют обратные утверждения. Если две прямые пересечены секущей и выполняется хотя бы одно из условий, то эти прямые параллельны.

1. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Таким образом, при пересечении двух параллельных прямых секущей все восемь углов принимают только два значения: некоторый угол $\alpha$ и смежный с ним угол $180^\circ-\alpha$. Все острые углы равны между собой, и все тупые углы также равны между собой.