Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус описанной окружности?

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

где $R$ — радиус описанной окружности, $c$ — гипотенуза. Поэтому сначала можно найти гипотенузу:

Однако только по одному радиусу описанной окружности найти конкретный катет нельзя: прямоугольных треугольников с одной и той же гипотенузой существует бесконечно много. Нужно знать ещё хотя бы один элемент треугольника.

Если известен второй катет $b$, то по теореме Пифагора:

Подставляя $c=2R$, получаем:

Например, если $R=5$, а второй катет равен $6$, то гипотенуза:

Искомый катет:

Если известен острый угол $\alpha$, то катет, лежащий напротив этого угла, находится по формуле:

Катет, прилежащий к углу $\alpha$:

Например, при $R=6$ и $\alpha=30^\circ$:

Если известна площадь $S$ и один из катетов $b$, то:

следовательно,

Таким образом, радиус описанной окружности позволяет сразу определить гипотенузу $c=2R$, но для нахождения катета необходимо дополнительно знать другой катет, острый угол, площадь или другой параметр треугольника.