Дан параллелограмм ABCD На продолжении диагонали AC за вершины A и C отмечены точки M и N соответственно так,что AM = CN. Докажите,что MBND - параллелограмм. ОЧЕНЬ НУЖНО,ПОМОГИТЕ.

Для того чтобы доказать, что фигура MBND является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны этой фигуры параллельны и равны. Рассмотрим параллелограмм ABCD и точки M и N, такие, что AM = CN и они лежат на продолжении диагонали AC.

Шаг 1: Векторы в параллелограмме

Параллелограмм ABCD имеет следующие свойства:

• Стороны AB и AD параллельны и равны.
• Диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делят друг друга пополам.

Обозначим координаты вершин параллелограмма следующим образом:

• Вершина A — точка (0, 0),
• Вершина B — точка (b, 0),
• Вершина D — точка (0, d),
• Вершина C — точка (b, d).

Шаг 2: Расположение точек M и N

Точки M и N лежат на продолжении диагонали AC:

• Местоположение точки M на продолжении диагонали AC можно выразить через вектор $\overrightarrow{AM}$, который будет равен $k \cdot \overrightarrow{AC}$, где $k$ — коэффициент, такой что $M$ находится на продолжении линии за точкой A. То есть точка M будет расположена вдоль направления диагонали AC на расстоянии $AM = k \cdot AC$.
• Аналогично для точки N на продолжении диагонали AC: $\overrightarrow{CN} = m \cdot \overrightarrow{AC}$, где m — коэффициент, описывающий расстояние от точки C до N.

Поскольку AM = CN, можно утверждать, что точки M и N одинаково удалены от точек A и C вдоль диагонали AC, то есть $AM = CN$.

Шаг 3: Векторное представление

Теперь рассмотрим векторы для сторон фигуры MBND:

• Вектор $\overrightarrow{MB}$ равен разности координат точек B и M.
• Вектор $\overrightarrow{ND}$ равен разности координат точек D и N.

Так как точки M и N расположены вдоль одной прямой (диагонали AC) и расстояния AM = CN, то можно заключить, что векторы $\overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{ND}$ будут равны по величине и направлению, так как они пропорциональны вектору $\overrightarrow{AC}$. Следовательно, эти векторы параллельны и равны.

Шаг 4: Параллельность и равенство сторон

Для того чтобы показать, что MBND — параллелограмм, необходимо доказать, что противоположные стороны равны и параллельны. Мы уже показали, что векторы $\overrightarrow{MB}$ и $\overrightarrow{ND}$ равны, что значит, что противоположные стороны MB и ND параллельны и равны.

Аналогично, можно доказать, что векторы $\overrightarrow{BN}$ и $\overrightarrow{DM}$ также равны и параллельны, так как они также являются продолжениями диагонали AC с одинаковыми расстояниями от точек B и D.

Шаг 5: Заключение

Поскольку противоположные стороны MB и ND, а также BN и DM равны и параллельны, то фигура MBND является параллелограммом.