Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке О, длина стороны АВ составляет 12. Найдите АС, если ВО относится к ОМ как 1:4.

Пусть:

• $AB=12$

• $AC=x$

• $M$ — середина стороны $AC$, так как $BM$ — медиана.

• $O$ — точка пересечения медианы $BM$ и биссектрисы $AP$.

Дано:

Значит вся медиана $BM$ состоит из 5 частей, а точка $O$ находится на расстоянии:

Рассмотрим положение точки $O$ относительно вершин треугольника. Так как $M$ — середина $AC$, то при движении от $B$ к $M$ на одну пятую часть получаем:

То есть коэффициенты при вершинах $B$ и $C$ относятся как:

Но $O$ лежит на биссектрисе угла $A$. Для точки на биссектрисе отношение коэффициентов при $B$ и $C$ равно отношению прилежащих сторон:

Подставляем $AB=12$:

Отсюда:

Ответ: