Даны квадрат OABC, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых OA, AB, BC и AC являются секущими по отношению к этой окружности?

Чтобы определить, какие из прямых $OA, AB, BC$ и $AC$ являются секущими относительно окружности с центром в точке $O$ и радиусом 5 см, разберем каждую из них по порядку. Секущая прямая пересекает окружность в двух точках, поэтому нужно выяснить, пересекает ли каждая из прямых окружность, и если да, то сколько раз.

Дано:

1. Квадрат $OABC$ с длиной стороны $a = 6$ см. Точка $O$ — одна из его вершин.
2. Окружность с центром в точке $O$ радиусом $R = 5$ см.

Координаты вершин квадрата относительно точки $O$:

• $O(0, 0)$,
• $A(6, 0)$,
• $B(6, 6)$,
• $C(0, 6)$.

1. Прямая $OA$

Прямая $OA$ — это луч, проходящий от точки $O(0, 0)$ до точки $A(6, 0)$. Она лежит на оси $x$.

• Уравнение прямой: $y = 0$, $x \geq 0$.
• Окружность имеет уравнение $x^2 + y^2 = 25$.

Проверяем пересечение:

• Подставляем $y = 0$ в уравнение окружности: $x^2 = 25$, $x = \pm 5$.
• Поскольку $x \geq 0$, точка пересечения — $(5, 0)$.

Итак, $OA$ пересекает окружность только в одной точке $(5, 0)$. Следовательно, $OA$ не является секущей, а касательная.

2. Прямая $AB$

Прямая $AB$ — это сторона квадрата, параллельная оси $y$, проходящая через точки $A(6, 0)$ и $B(6, 6)$.

• Уравнение прямой: $x = 6$.

Проверяем пересечение с окружностью:

• Подставляем $x = 6$ в уравнение окружности: $6^2 + y^2 = 25$, $36 + y^2 = 25$, $y^2 = -11$.

Так как $y^2 < 0$, пересечений нет. Прямая $AB$ не пересекает окружность.

3. Прямая $BC$

Прямая $BC$ — это сторона квадрата, параллельная оси $x$, проходящая через точки $B(6, 6)$ и $C(0, 6)$.

• Уравнение прямой: $y = 6$.

Проверяем пересечение с окружностью:

• Подставляем $y = 6$ в уравнение окружности: $x^2 + 6^2 = 25$, $x^2 + 36 = 25$, $x^2 = -11$.

Так как $x^2 < 0$, пересечений нет. Прямая $BC$ не пересекает окружность.

4. Прямая $AC$

Прямая $AC$ — это диагональ квадрата, соединяющая точки $A(6, 0)$ и $C(0, 6)$.

• Уравнение прямой можно записать как $y = -x + 6$.

Проверяем пересечение с окружностью:

• Подставляем $y = -x + 6$ в уравнение окружности: $$x^2 + (-x + 6)^2 = 25.$$
• Раскрываем скобки: $$x^2 + (x^2 - 12x + 36) = 25,$$ $$2x^2 - 12x + 36 = 25,$$ $$2x^2 - 12x + 11 = 0.$$
• Делим на 2: $$x^2 - 6x + 5.5 = 0.$$
• Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5.5 = 36 - 22 = 14.$$ Корни: $$x = \frac{6 \pm \sqrt{14}}{2}.$$

Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два корня. Значит, $AC$