1) Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 2) Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

1. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, где $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$. Обозначим точки пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как точку $O$.

Нужно доказать, что $O$ — середина обеих диагоналей, то есть:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. Они будут равны по следующим причинам:

• В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB = CD$, $AD = BC$.

• Угол между сторонами одинаковый, так как противоположные углы параллелограмма равны.

• Диагонали пересекаются в одной точке $O$, и они соединяют противоположные вершины.

Однако удобнее всего воспользоваться векторным методом:

Обозначим точку $A$ началом координат — вектор $\vec{A} = (0, 0)$, тогда вектор $\vec{B} = \vec{u}$, вектор $\vec{D} = \vec{v}$, и тогда $\vec{C} = \vec{u} + \vec{v}$.

Диагональ $AC$ — это вектор от $A$ до $C$: $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \vec{u} + \vec{v}$.

Диагональ $BD$ — это вектор от $B$ до $D$: $\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = \vec{v} - \vec{u}$.

Чтобы найти точку пересечения диагоналей, возьмём среднюю точку каждой диагонали:

• Середина $AC$: $\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{0 + (\vec{u} + \vec{v})}{2} = \frac{\vec{u} + \vec{v}}{2}$,

• Середина $BD$: $\frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{u} + \vec{v}}{2}$.

Обе середины совпадают. Следовательно, диагонали действительно пересекаются в точке, которая делит их пополам.

2. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Прямоугольник — это частный случай параллелограмма, у которого все углы прямые.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$, где углы $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$