Биссектрисы углов A и C параллелограмма ABCD пересекают его стороны BC и AD соответственно в точках E и F. Докажите, что треугольники ABE и CDF равны.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $E$, а биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AD$ в точке $F$.

Докажем, что $\triangle ABE$ и $\triangle CDF$ равны.

1. Рассмотрим углы при вершинах $A$ и $C$.

В параллелограмме противоположные углы равны:

Так как $AE$ и $CF$ — биссектрисы этих углов, то они делят равные углы пополам:

Следовательно,

Кроме того, в параллелограмме противоположные стороны равны:

2. Докажем, что $BE=DF$.

Так как $AE$ и $CF$ — биссектрисы равных противоположных углов параллелограмма, то они параллельны:

Также

а в параллелограмме

значит,

Получаем, что четырёхугольник $AECF$ — параллелограмм. Поэтому его противоположные стороны равны:

Так как стороны параллелограмма $ABCD$ равны:

Вычтем из равных отрезков равные части:

Но

а

Следовательно,

3. Теперь сравним треугольники $ABE$ и $CDF$.

Имеем:

а также углы между этими сторонами равны:

так как $\angle B=\angle D$ в параллелограмме.

Значит, у треугольников равны две стороны и угол между ними:

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) получаем:

Следовательно, треугольники $ABE$ и $CDF$ равны.

0 0 Пожаловаться