В равнобедренном трапеции периметр который равен 100, а площадь равна 500 ,можно вписать окружность . Найти расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания

Для решения задачи давайте подробно разберёмся со всеми необходимыми параметрами:

Условия задачи:

1. Трапеция равнобедренная.
2. Периметр трапеции $P = 100$.
3. Площадь трапеции $S = 500$.
4. В трапецию можно вписать окружность.

Требуется найти расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Шаг 1. Свойства трапеции, в которую можно вписать окружность

Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон:

где:

• $a$ и $b$ — основания трапеции ($a > b$),
• $c$ и $d$ — боковые стороны трапеции ($c = d$, так как трапеция равнобедренная).

Таким образом, $a + b = 2c$.

Шаг 2. Формула для площади трапеции

Площадь трапеции выражается через её основания $a$, $b$ и высоту $h$ так:

Подставляем $S = 500$:

Так как $a + b = 2c$, то:

Шаг 3. Используем периметр трапеции

Периметр равен:

Подставляем $P = 100$ и $c = d$:

Так как $a + b = 2c$, получаем:

Шаг 4. Высота трапеции

Из уравнения для площади $c \cdot h = 500$ находим высоту $h$:

Шаг 5. Координаты точки пересечения диагоналей

Для равнобедренной трапеции с основаниями $a$ и $b$, высотой $h$, расстояние от точки пересечения диагоналей до большего основания ($a$) равно:

Соответственно, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания ($b$) равно:

Шаг 6. Определение $a$ и $b$

Так как $a + b = 2c = 50$, обозначим $a = 50 - b$. Теперь определим длины $a$ и $b$ из геометрии трапеции. В равнобедренной трапеции, если $c = 25$ и $h = 20$, основания можно выразить как:

Подставляем $h = 20$ и $a + b = 50$:

Равенство выполняется, значит, выбор $a = 30$ и $b = 20$ подходит.

Шаг 7. Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания

Используем формулу:

Подставляем $h = 20$, $b = 20$, $a + b = 50$:

Ответ:

Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно 12 единиц.