К прямой АВ проведены в разные полуплоскости перпендикуляры АМ и ВК. Отрезки МК и АВ пересекаются в точке О. Доказать, что треугольник АОМ=треугольнику ВОК, если известно, что АМ=ВК.

Задача представляет собой доказательство равенства двух треугольников — $\triangle AOM$ и $\triangle BOK$, если выполнены определённые условия. Давайте разберём решение шаг за шагом.

Условия задачи:

1. Прямая $AB$ — это основная прямая, к которой проведены перпендикуляры $AM$ и $BK$ из точек $A$ и $B$ соответственно.
2. Отрезки $MK$ и $AB$ пересекаются в точке $O$.
3. Известно, что $AM = BK$.

Шаг 1: Рассмотрим геометрическую ситуацию

На плоскости у нас есть прямая $AB$, и к ней из точек $A$ и $B$ проведены перпендикуляры $AM$ и $BK$, которые лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$. Перпендикуляры пересекаются с прямой $AB$ в точках $M$ и $K$, и отрезки $MK$ и $AB$ пересекаются в точке $O$.

Шаг 2: Применение теоремы о перпендикуляре

Поскольку $AM$ и $BK$ — это перпендикуляры к прямой $AB$, углы $\angle AMB$ и $\angle BKA$ являются прямыми, то есть:

Эти углы важны для дальнейшего доказательства.

Шаг 3: Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOK$

Наша цель — доказать, что треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOK$ равны.

1. Стороны:
   • $AM = BK$ по условию задачи.
   • $OM = OK$ (так как отрезки $MK$ и $AB$ пересекаются в точке $O$, это означает, что $O$ является серединой отрезка $MK$).
2. Углы:
   • $\angle AMO = \angle BKO$ — эти углы равны, так как перпендикуляры $AM$ и $BK$ образуют одинаковые углы с отрезком $MK$ (оба перпендикуляра являются вертикальными, а значит, угол наклона одинаков).
3. Общие элементы:
   • Треугольники имеют общую сторону $AO$ — это сторона $\triangle AOM$ и сторона $\triangle BOK$, образующая их вершины $A$ и $B$.

Шаг 4: Применение признака равенства треугольников

Теперь у нас есть два треугольника, для которых выполняются следующие условия:

1. $AM = BK$ (по условию задачи),
2. $OM = OK$ (по факту пересечения отрезков $MK$ и $AB$),
3. $\angle AMO = \angle BKO$ (поскольку перпендикуляры образуют одинаковые углы).

Таким образом, выполнены все условия для применения признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS).

Заключение

Треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOK$ равны по признаку SAS. Следовательно, $\triangle AOM \cong \triangle BOK$, что и требовалось доказать.