Площадь прямоугольного треугольника равна 800 корней из 3 делить на 3, один из острых углов равен 60 градусов. Найти катет, лежащий напротив этого угла.

Для того чтобы найти катет, лежащий напротив угла 60 градусов в прямоугольном треугольнике, мы можем использовать информацию о площади треугольника и его свойства.

Шаг 1: Рассмотрим свойства треугольника

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

где $a$ и $b$ — это два катета треугольника.

Кроме того, известно, что один из острых углов треугольника равен 60°. Поскольку треугольник прямоугольный, второй острый угол обязательно равен 30° (так как сумма углов треугольника всегда 180°, и один угол уже равен 90°). Таким образом, мы имеем треугольник с углами 90°, 60° и 30°.

Шаг 2: Используем соотношения для треугольника 30°-60°-90°

В треугольнике с углами 30°, 60° и 90° существует определённое соотношение между сторонами:

• Катет напротив угла 30° в два раза меньше гипотенузы.
• Катет напротив угла 60° равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ гипотенузы.

Таким образом, если гипотенуза треугольника равна $c$, то катет, лежащий напротив угла 30°, будет равен $\frac{c}{2}$, а катет, лежащий напротив угла 60° — $\frac{\sqrt{3}}{2} \times c$.

Шаг 3: Используем формулу площади

Из условия задачи мы знаем, что площадь треугольника равна $\frac{800\sqrt{3}}{3}$. Подставляем эту площадь в формулу:

где $a$ и $b$ — катеты треугольника.

Теперь, используя соотношение сторон в прямоугольном треугольнике 30°-60°-90°, можем выразить катеты через гипотенузу $c$. Обозначим гипотенузу через $c$, тогда катет напротив угла 60° (который нас интересует) будет равен $\frac{\sqrt{3}}{2} \times c$, а катет напротив угла 30° — $\frac{c}{2}$.

Заменим катеты в формуле площади:

Упростим выражение:

Теперь избавимся от $\sqrt{3}$ на обеих сторонах:

Умножим обе стороны на 8:

Теперь извлечём квадратный корень:

Шаг 4: Найдем катет, лежащий напротив угла 60°

Мы знаем, что катет, лежащий напротив угла 60°, равен $\frac{\sqrt{3}}{2} \times c$. Подставляем значение $c$