) Вершины В и С треугольника АВС лежат в плоскости \beta . Вершина А ей не принадлежит. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна плоскости \beta .

Давайте подробно разберем доказательство.

Условие задачи

1. Вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ лежат в плоскости $\beta$.
2. Вершина $A$ не принадлежит плоскости $\beta$.
3. Требуется доказать, что прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $AC$, параллельна плоскости $\beta$.

Решение

1. Определим середины отрезков

Обозначим:

• $M$ — середина отрезка $AB$,
• $N$ — середина отрезка $AC$.

Так как точки $M$ и $N$ — середины, их координаты находятся как средние арифметические координат соответствующих точек. Формулы:

2. Направляющий вектор прямой $MN$

Вектор, задающий направление прямой $MN$, можно найти как разность координат точек $M$ и $N$:

Таким образом, вектор $\overrightarrow{MN}$ является масштабированной версией вектора $\overrightarrow{BC}$:

3. Свойство плоскости $\beta$

По условию, вершины $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\beta$. Это означает, что вектор $\overrightarrow{BC}$ лежит в плоскости $\beta$.

4. Вектор $\overrightarrow{MN}$ параллелен $\beta$

Так как $\overrightarrow{MN}$ является масштабированной копией $\overrightarrow{BC}$, а $\overrightarrow{BC}$ лежит в $\beta$, то $\overrightarrow{MN}$ параллелен $\beta$.

5. Прямая через $M$ и $N$ параллельна $\beta$

Прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, задана направляющим вектором $\overrightarrow{MN}$. Мы доказали, что этот вектор параллелен плоскости $\beta$, следовательно, сама прямая также параллельна $\beta$.

Итог

Прямая, проходящая через середины отрезков $AB$ и $AC$, параллельна плоскости $\beta$, так как её направляющий вектор $\overrightarrow{MN}$ параллелен вектору $\overrightarrow{BC}$