Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.Медианы треугольника AСD1 пересекаются в точке M. Разложите вектор ВМ по векторам а = ВА, b= ВВ1, c = ВС.

Для решения задачи разложения вектора $\mathbf{BM}$ по векторам $\mathbf{a} = \mathbf{BA}$, $\mathbf{b} = \mathbf{BV1}$, и $\mathbf{c} = \mathbf{BC}$, нужно рассмотреть несколько шагов, связанных с геометрией и свойствами параллелепипеда, а также с нахождением координат точек и векторов.

Шаг 1: Понимание задачи

В заданной задаче имеется параллелепипед $ABCDA1B1C1D1$, и нас интересует медиана треугольника $ACD1$, которая пересекается в точке $M$. Медианы треугольника — это отрезки, соединяющие вершины треугольника с его центрами масс. В задаче точка $M$ является точкой пересечения медиан треугольника $ACD1$, то есть центром масс этого треугольника.

Мы должны разложить вектор $\mathbf{BM}$ по векторам $\mathbf{a} = \mathbf{BA}$, $\mathbf{b} = \mathbf{BV1}$, и $\mathbf{c} = \mathbf{BC}$.

Шаг 2: Определение координат точек

Для удобства рассмотрим параллелепипед с определёнными координатами точек:

• Пусть вершины параллелепипеда имеют следующие координаты:
  • $A = (0, 0, 0)$,
  • $B = (1, 0, 0)$,
  • $C = (1, 1, 0)$,
  • $D = (0, 1, 0)$,
  • $A1 = (0, 0, 1)$,
  • $B1 = (1, 0, 1)$,
  • $C1 = (1, 1, 1)$,
  • $D1 = (0, 1, 1)$.

Шаг 3: Нахождение координат точки $M$

Точка $M$ является точкой пересечения медиан треугольника $ACD1$. Медианы треугольника делят его на три равные части, и точка пересечения медиан является центром масс треугольника.

Центр масс треугольника $ACD1$ — это среднее арифметическое координат его вершин. То есть:

Подставим координаты точек $A$, $C$, и $D1$:

Шаг 4: Разложение вектора $\mathbf{BM}$

Теперь разложим вектор $\mathbf{BM}$ по векторам $\mathbf{a} = \mathbf{BA}$, $\mathbf{b} = \mathbf{BV1}$, и $\mathbf{c} = \mathbf{BC}$. Для этого сначала определим координаты этих векторов:

• Вектор $\mathbf{BA} = A - B = (0, 0, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 0)$,
• Вектор $\mathbf{BV1} = B1 - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1)$,
• Вектор $\mathbf{BC} = C - B = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0)$.

Теперь, чтобы разложить $\mathbf{BM}$ по этим векторам, нам нужно выразить $\mathbf{BM}$ как линейную комбинацию этих векторов:

где $\lambda_1$, $\lambda_2$, и $\lambda_3$ — это коэффициенты разложения. Вектор $\mathbf{BM}$ можно найти как разность между точками $M$ и $B$:

Теперь подставим координаты векторов