Хорда cd перпендикулярна диаметру ab и пересекает его в точке k. Вычислите длину хорды cd если радиус окружности равен 10 см и ak =4 см

Задача требует использования геометрических свойств окружности и прямоугольных треугольников. Рассмотрим детали:

1. У нас есть окружность с центром в точке $O$ и радиусом 10 см.
2. Хорда $CD$ перпендикулярна диаметру $AB$ в точке $K$.
3. Расстояние от точки $A$ до точки $K \ равно 4$ см.

Пошагово решаем задачу:

Шаг 1: Определим координаты точек.

Предположим, что окружность находится в декартовой системе координат с центром в точке $O(0, 0)$, радиусом 10 см.

• Диаметр $AB$ лежит на оси $X$, так что $A(-10, 0)$ и $B(10, 0)$.
• Хорда $CD$ перпендикулярна диаметру $AB$ и пересекает его в точке $K$, которая находится на оси $X$.

Шаг 2: Используем теорему о перпендикуляре.

Теорема о перпендикуляре из центра окружности к хорде утверждает, что эта прямая делит хорду пополам. Поскольку $CD$ перпендикулярна диаметру $AB$, она проходит через точку $K$, которая также является серединой хорды $CD$.

Шаг 3: Найдем длину хорды $CD$.

Теперь сосредоточимся на прямоугольном треугольнике $OAK$, где:

• $O$ — центр окружности,
• $A$ — конец диаметра,
• $K$ — точка пересечения хорды с диаметром.

Из условия задачи известно:

• Радиус окружности $r = 10$ см,
• $AK = 4$ см.

В треугольнике $OAK$ гипотенуза $OA$ равна радиусу окружности $r = 10$ см, а катет $AK = 4$ см.

Для нахождения длины катета $OK$ (расстояния от центра окружности до точки пересечения хорды) используем теорему Пифагора:

Шаг 4: Найдем длину хорды.

Поскольку хорда $CD$ перпендикулярна диаметру $AB$ и точка $K$ является её серединой, длина хорды $CD$ равна удвоенному расстоянию от точки $K$ до точки $C$ (или $D$).

Используем теорему Пифагора для треугольника $OKC$, где $OC$ — радиус окружности:

По теореме Пифагора для треугольника $OKC$:

Таким образом, длина хорды $CD$ будет удвоена:

Ответ:

Длина хорды $CD$ равна 8 см.