Хорда перпендикулярна к диаметру и делит его на отрезки 2 см и 8 см. Определи длину хорды.

Рассмотрим задачу: хорда перпендикулярна к диаметру окружности и делит его на отрезки длиной 2 см и 8 см. Необходимо найти длину хорды.

Дано:

• Диаметр $AB$ окружности равен $2 + 8 = 10$ см.
• Хорда $CD$ перпендикулярна диаметру $AB$ в точке $O$, где $AO = 2$ см и $OB = 8$ см.

Решение:

1. Центр окружности: Диаметр делит окружность пополам, а его середина — это центр окружности. Таким образом, $O$ — центр окружности.

2. Радиус окружности: Радиус окружности равен половине диаметра:

   $$R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}.$$

3. Связь радиуса и хорды: Хорда $CD$ перпендикулярна диаметру $AB$ и проходит через точку $O$. Это значит, что $O$ является серединой хорды $CD$. Назовем половину хорды $x$, тогда длина хорды $CD = 2x$.

4. Прямоугольный треугольник: Треугольник $OEC$ ($E$ — точка пересечения хорды с диаметром) является прямоугольным. Его гипотенуза — радиус $R = 5$, один из катетов $OE = 2$ (так как $O$ — центр, а $E$ — на 2 см от $O$ по диаметру). Используем теорему Пифагора для нахождения второго катета $x$:

   $$R^2 = OE^2 + OC^2,$$

   где $OC = x$. Подставляем:

   $$5^2 = 2^2 + x^2.$$

5. Вычисления:

   $$25 = 4 + x^2,$$ $$x^2 = 25 - 4 = 21,$$ $$x = \sqrt{21}.$$

6. Длина хорды: Полная длина хорды $CD = 2x$:

   $$CD = 2 \cdot \sqrt{21}.$$

Ответ:

Длина хорды равна $2\sqrt{21}$ см (приблизительно $9.17$ см).