отрезок CD 25 см, его концы лежат на разных окружностях оснований цилиндра. найдите расстояние от отрезка CD до оси цилиндра, если его высота 7см а диаметр основания 26 см

Для решения задачи нам нужно найти расстояние от отрезка $CD$ до оси цилиндра. Давайте подробно разберем эту задачу.

Условие задачи

1. Высота цилиндра $h = 7$ см.
2. Диаметр основания цилиндра $D = 26$ см, следовательно, радиус основания $R = \frac{D}{2} = 13$ см.
3. Длина отрезка $CD = 25$ см, причем его концы находятся на окружностях верхнего и нижнего основания цилиндра.
4. Требуется найти минимальное расстояние от отрезка $CD$ до оси цилиндра.

Анализ задачи

Цилиндр обладает осью симметрии — осью цилиндра. Если отрезок $CD$ соединяет точки на разных окружностях оснований, он проходит в пространстве, но не обязательно перпендикулярен оси цилиндра. Мы можем воспользоваться геометрией цилиндра и свойствами отрезков в пространстве.

Важные моменты:

• Центры верхнего и нижнего оснований цилиндра лежат на оси цилиндра.
• Расстояние от отрезка $CD$ до оси цилиндра определяется как длина перпендикуляра, опущенного из оси цилиндра на этот отрезок.

Подход к решению

1. Разместим цилиндр в системе координат:

   • Пусть ось цилиндра совпадает с осью $z$.
   • Центр нижнего основания — точка $(0, 0, 0)$, центр верхнего основания — точка $(0, 0, h) = (0, 0, 7)$.
   • Радиусы окружностей оснований равны $R = 13$ см.

2. Положение концов отрезка $CD$:

   • Пусть одна точка $C$ находится на нижнем основании: $C(x_1, y_1, 0)$, где $\sqrt{x_1^2 + y_1^2} = R = 13$.
   • Пусть другая точка $D$ находится на верхнем основании: $D(x_2, y_2, 7)$, где $\sqrt{x_2^2 + y_2^2} = R = 13$.
   • Расстояние между $C$ и $D$: $CD = 25$. Это даёт нам уравнение: $$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (7 - 0)^2} = 25.$$

3. Расстояние от отрезка $CD$ до оси цилиндра:

   • Расстояние от точки до прямой в пространстве вычисляется через векторное произведение.
   • Вектор $\mathbf{CD}$ имеет координаты $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, 7)$.
   • Расстояние от оси цилиндра до $CD$ можно найти по формуле: $$d = \frac{\|\mathbf{OC} \times \mathbf{CD}\|}{\|\mathbf{CD}\|},$$ где $\mathbf{OC} = (x_1, y_1, 0)$ — радиус-вектор точки $C$, а $\|\mathbf{CD}\| = 25$.

4. Подсчёт: Подставляем выражение для векторного произведения $\mathbf{OC} \times \mathbf{CD}$:

   $$\mathbf{OC} \times \mathbf{CD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_1 & y_1 & 0 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & 7 \end{vmatrix}.$$

   Раскрываем определитель:

   $$\mathbf{OC} \times \mathbf{CD} = \mathbf{i}(y_1 \cdot 7 - 0) - \mathbf{j}(x_1 \cdot 7 - 0) + \mathbf{k}(x_1(y_2 - y_1) - y_1(x_2 - x_1)).$$