В треугольнике АВС О-точка пересечения медиан Выразите вектор АО через вектор а=АВ и b=АС
С рисунком, пожалуйста

В треугольнике ABC точка O — это точка пересечения медиан, и она называется центроидом треугольника. Медианы треугольника — это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединой противоположной стороны. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, причем большая часть находится ближе к вершине.

Задача состоит в том, чтобы выразить вектор $\vec{AO}$ через вектора $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AC}$.

Шаг 1: Обозначения

• Пусть $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ — координаты точек A, B и C соответственно.
• Пусть $M$ — точка на стороне $BC$, которая является серединой этого отрезка, то есть $\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}$.
• Точка $O$ — это точка пересечения медиан, или центроид треугольника.

Шаг 2: Координаты точки $O$

Центроид треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, то есть расстояние от вершины до центра масс в два раза больше, чем от центра масс до середины стороны. Таким образом, координаты точки $O$ можно выразить как среднее арифметическое координат вершин треугольника:

Шаг 3: Перевод векторов в нужное представление

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяются как:

Теперь, выразим $\vec{B}$ и $\vec{C}$ через $\vec{A}$, $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

Шаг 4: Подставляем в выражение для $\vec{O}$

Подставляем $\vec{B}$ и $\vec{C}$ в выражение для $\vec{O}$: