В окружность радиуса 5 вписана трапеция ABCD, в которой диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу и отношение оснований BC:AD=1:2. Чему равны стороны и площадь трапеции?

Рассмотрим задачу поэтапно.

Шаг 1. Обозначения

• Радиус окружности $R = 5$.
• Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, следовательно, она является равнобедренной.
• Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом.
• Отношение оснований $BC : AD = 1 : 2$.

Пусть $BC = x$, тогда $AD = 2x$. Обозначим боковые стороны трапеции через $AB = CD = a$.

Шаг 2. Использование свойства диагоналей

Так как диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, можно воспользоваться важным свойством для трапеций, вписанных в окружность: если диагонали трапеции перпендикулярны, то сумма квадратов оснований равна квадрату суммы боковых сторон.

То есть:

Подставим наши обозначения:

Шаг 3. Связь с радиусом окружности

Для трапеции, вписанной в окружность, радиус окружности можно выразить через среднее арифметическое оснований и высоту трапеции. Высоту обозначим за $h$.

Радиус окружности:

где $a$ и $c$ — длины оснований $BC$ и $AD$.

Подставляем значения:

Тогда длина основания $AD = 2x = \frac{20}{3}$, а длина меньшего основания $BC = \frac{10}{3}$.

Шаг 4. Нахождение боковых сторон

Теперь, когда $x$ известно, можем найти боковые стороны. Подставляем $x = \frac{10}{3}$ в выражение для $a$:

То есть боковые стороны $AB$ и $CD$ равны $\frac{10 \sqrt{10}}{6}$.

Шаг 5. Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

Осталось найти высоту $h$. Из условия $AC \perp BD$ можно воспользоваться теоремой Пифагора для высоты и половины разности оснований. Вспомним, что $R = 5$, и найдем высоту через свойства радиуса вписанной окружности: