В равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) вписана окружность. Касательная l к окружности, параллельная прямой АС, пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и Р соответственно.Известно, что периметр четырехугольника АТРС равен 30 см и АС = 12 см. Вычислите длину радиуса окружности (рисунок)

Рассмотрим задачу с равнобедренным треугольником $ABC$, в который вписана окружность. Даны следующие условия:

1. $AB = BC$, что означает, что $ABC$ — равнобедренный треугольник.
2. Внутри треугольника проведена окружность, касательная к которой, $l$, параллельна основанию $AC$. Эта касательная пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $P$ соответственно.
3. Периметр четырехугольника $APEC$ равен $30$ см, а длина основания $AC = 12$ см.

Нужно найти радиус вписанной окружности.

Шаг 1: Определим длины сторон четырехугольника

Поскольку $l$ — касательная к окружности и параллельна основанию $AC$, четырехугольник $APEC$ представляет собой трапецию, у которой $AE$ и $CP$ являются боковыми сторонами. В равнобедренном треугольнике $ABC$, точки $E$ и $P$ будут симметрично расположены относительно высоты, проведенной из вершины $B$ к $AC$.

Обозначим:

• Длину боковых сторон $AE = CP = x$, так как треугольник равнобедренный.
• Основание $AC = 12$ см, как дано в условии.

Тогда периметр трапеции $APEC$ выражается как:

где $AE = x$, $PC = x$, а $EP$ — это часть основания $AC$, которая не равна $12$.

Шаг 2: Найдем длину $EP$

Так как $AE$ и $CP$ равны, можно представить, что касательная делит основание $AC$ на три части: $AE$, $EP$, и $CP$, где $AE$ и $CP$ равны, а $EP = AC - AE - CP = 12 - 2x$.

Теперь, подставляя значения в периметр:

Складываем и упрощаем уравнение: