В треугольнике ABC AB=BC. На медиане BE отмечена точка M, а на сторонах AB и BC- точки P и K соответственно. (Точки P, M и K не лежат на одной прямой.) Известно, что угол BMP =угол BMK. Докажите, что:

а) углы BPM и BKM равны;

б) прямые PK и BM взаимно перпендикулярны

Для начала разберемся с геометрией задачи. У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где $AB = BC$, медиана $BE$, и на ней точка $M$. Также точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, причем нам известно, что углы $\angle BMP = \angle BMK$. Нам нужно доказать два утверждения:

а) Углы $\angle BPM$ и $\angle BKM$ равны

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AB = BC$, значит, треугольник является равнобедренным. Следовательно, медиана $BE$ является и высотой, и биссектрисой угла $\angle ABC$.

2. Точки $P$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Мы знаем, что угол $\angle BMP = \angle BMK$.

3. Заметим, что из условия задачи мы можем использовать теорему о равных углах: так как $\angle BMP = \angle BMK$, то треугольники $BMP$ и $BMK$ будут иметь два равных угла при вершине $B$ (углы при точке $M$).

4. Угол $\angle BPM$ является углом при основании треугольника $BMP$, а угол $\angle BKM$ – углом при основании треугольника $BMK$. Поскольку эти углы противоположны при вершине $M$, они должны быть равны (так как оба образуют пары равных углов с углом $\angle BMP = \angle BMK$).

Таким образом, $\angle BPM = \angle BKM$.

б) Прямые $PK$ и $BM$ взаимно перпендикулярны

Доказательство:

1. Рассмотрим прямые $PK$ и $BM$. Нам нужно доказать, что они взаимно перпендикулярны.

2. В предыдущем шаге мы доказали, что углы $\angle BPM$ и $\angle BKM$ равны, то есть, $\angle BPM = \angle BKM$.

3. Теперь заметим, что если два угла, образованные двумя прямыми, равны, то эти прямые должны быть перпендикулярны. В данном случае $PK$ и $BM$ образуют два равных угла, $\angle BPM$ и $\angle BKM$, которые равны между собой.

4. Поскольку угол $\angle BPM$ равен углу $\angle BKM$, и в обоих случаях одна из сторон этих углов — это медиана $BE$, а другая — стороны треугольника, то эти углы должны быть прямыми. Следовательно, прямые $PK$ и $BM$ перпендикулярны.

Итак, мы доказали, что прямые $PK$ и $BM$ действительно перпендикулярны.

Таким образом, оба пункта задачи доказаны.