К окружности проведена касательная.Докажите,что сумма расстояний от концов любого диаметра до этой касательной равна диаметру этой окружности.

Для того чтобы доказать, что сумма расстояний от концов любого диаметра окружности до касательной к этой окружности равна диаметру, можно воспользоваться свойствами касательных и диаметра окружности.

1. Обозначения и предположения: Пусть $O$ — центр окружности, радиус окружности $R$, а $AB$ — произвольный диаметр окружности. К окружности проведена касательная в точке $P$, и эта касательная перпендикулярна радиусу, который соединяет центр окружности $O$ с точкой касания $P$.

2. Построение перпендикуляров: Обозначим расстояния от точек $A$ и $B$ до касательной как $d_A$ и $d_B$ соответственно. Пусть также $OP$ — радиус окружности, который перпендикулярен касательной в точке $P$.

3. Свойства касательной: Касательная к окружности имеет следующее важное свойство: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Это означает, что угол между радиусом $OP$ и касательной, проведенной в точку $P$, равен $90^\circ$.

4. Использование теоремы о расстоянии от точки до прямой: Теперь рассмотрим прямую, которая проходит через точки $A$ и $B$, и проведем перпендикуляры из этих точек на касательную. Расстояния от точек $A$ и $B$ до касательной равны длинам перпендикуляров из этих точек до касательной, то есть расстояния от концов диаметра до касательной.

5. Применение симметрии: Поскольку касательная к окружности равна расстоянию от диаметра до точки касания, а окружность симметрична относительно диаметра, то сумма расстояний от концов диаметра до касательной будет равна диаметру окружности.

6. Заключение: Мы доказали, что сумма расстояний от концов любого диаметра окружности до касательной равна диаметру окружности, так как симметрия окружности и касательной предполагает, что это расстояние пропорционально диаметру.

Таким образом, требуемое утверждение доказано.