в окружности по разные стороны от центра проведены параллельные хорды длиной 12 и 16. расстояние между ними равно 14. найти радиус окружности

Задача на поиск радиуса окружности, если в ней проведены две параллельные хорды длиной 12 и 16, а расстояние между ними равно 14, решается с использованием геометрических и алгебраических методов.

Шаг 1: Введение переменных

Пусть $R$ — радиус окружности. Обозначим центр окружности как $O$, и проведем вертикальные радиусы, которые перпендикулярны хордам. Пусть хорда длиной 12 будет расположена выше, а хорда длиной 16 — ниже. Расстояние между ними равно 14.

Шаг 2: Размещение хорды в окружности

Параллельные хорды одинаково расположены относительно центра окружности. Расстояние между ними равняется 14, поэтому можно принять, что одна хорда расположена на расстоянии $d_1$ от центра окружности, а другая — на расстоянии $d_2$, где $d_2 = d_1 + 14$.

Теперь, поскольку хорды параллельны, можно использовать свойство окружности: если расстояние от центра окружности до хорды равно $d$, то длина хорды $l$ связана с радиусом окружности $R$ по формуле:

Шаг 3: Применение формулы для обеих хорды

1. Для хорды длиной 12:

Разделим обе части на 2:

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

или

2. Для хорды длиной 16:

Разделим на 2:

Возведем в квадрат:

или

Шаг 4: Использование разности расстояний

Мы знаем, что $d_2 = d_1 + 14$, то есть:

Теперь подставим выражение для $d_2^2$:

Раскроем скобки:

Теперь подставим $d_1^2 = R^2 - 36$ в это уравнение:

Упростим:

Теперь сокращаем $R^2$ с обеих сторон:

Переносим все в одну сторону:

Делим обе стороны на 28:

Шаг 5: Нахождение радиуса

Теперь, когда мы нашли $d_1 = -8$, подставим это значение в выражение для $d_1^2$