Угол A ромба ABCD равен 60. Длина его меньшей диагонали 12 см. Вычислите площадь ромба

Чтобы найти площадь ромба, воспользуемся формулой площади через длины диагоналей. Формула выглядит так:

где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей ромба.

Дано:

1. Один из углов ромба ($\angle A$) равен $60^\circ$.
2. Длина меньшей диагонали ($d_1$) равна 12 см.

Шаг 1: Связь диагоналей и углов ромба

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($90^\circ$) и делят друг друга пополам. Пусть $d_2$ — длина большей диагонали, а $d_1 = 12$ — длина меньшей диагонали. Каждая половина диагонали $d_1$ равна $6$ см (половина от 12).

Так как угол ромба равен $60^\circ$, половинки диагоналей образуют треугольник, в котором известны:

• гипотенуза — это сторона ромба;
• углы — $60^\circ$, $30^\circ$ и $90^\circ$.

Шаг 2: Используем свойства треугольника $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$

В таком треугольнике:

• Гипотенуза в два раза больше меньшего катета.
• Больший катет в $\sqrt{3}$ раз больше меньшего катета.

Меньший катет равен половине меньшей диагонали ($6$ см). Тогда гипотенуза (сторона ромба) равна:

Больший катет (половина большей диагонали $d_2$) равен:

Следовательно, вся большая диагональ:

Шаг 3: Вычисление площади ромба

Подставим $d_1 = 12$ и $d_2 = 12\sqrt{3}$ в формулу площади:

Посчитаем:

Ответ:

Площадь ромба равна $72\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.