В квадрате ABCD диагональ BD пересекает отрезок AK (K€ВС) в точке О. Найдите длины отрезков АО и ОК, если сторона квадрата равна 12 см, а отрезок ВК 9 см

Давайте разберем задачу подробно.

Условия задачи:

1. $ABCD$ — квадрат, сторона квадрата равна $12 \, \text{см}$.
2. Диагональ $BD$ пересекает отрезок $AK$ (где $K \in BC$) в точке $O$.
3. Длина отрезка $BK = 9 \, \text{см}$.
4. Требуется найти длины отрезков $AO$ и $OK$.

Решение:

Шаг 1. Разберем координаты ключевых точек.

• Квадрат $ABCD$ имеет следующие вершины:
  • $A(0, 0)$,
  • $B(12, 0)$,
  • $C(12, 12)$,
  • $D(0, 12)$.

Диагональ $BD$ соединяет точки $B(12, 0)$ и $D(0, 12)$. Уравнение диагонали:

Точка $K$ лежит на стороне $BC$ между $B(12, 0)$ и $C(12, 12)$. Так как $BK = 9$, точка $K$ имеет координаты:

Отрезок $AK$ соединяет точки $A(0, 0)$ и $K(12, 9)$. Уравнение отрезка $AK$ находим из уравнения прямой:

где $k$ — угловой коэффициент. Подставим координаты $A(0, 0)$ и $K(12, 9)$:

Следовательно, уравнение $AK$:

Шаг 2. Найдем координаты точки пересечения $O$.

Точка $O$ — это пересечение диагонали $BD$ ($y = -x + 12$) и отрезка $AK$ ($y = \frac{3}{4}x$). Приравниваем уравнения:

Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:

Теперь подставим $x = \frac{48}{7}$ в уравнение $y = \frac{3}{4}x$, чтобы найти $y$:

Таким образом, координаты точки $O$:

Шаг 3. Найдем длины отрезков $AO$ и $OK$.

1. Длина $AO$ — расстояние между $A(0, 0)$ и $O\left(\frac{48}{7}, \frac{36}{7}\right)$: