В параллелограмме MNKP диагональ МК равна 20см. Точки В и С - середины сторон NK и KP соответственно. Отрезок ВС пересекает диагональ МК в точке Е. Найдите МЕ и ЕК.

В трапеции ABCD основания ВС и AD равны 8 и 12см, диагональ АС равна 40см и пересекает диагональ BD в точке О. Найдите АО и СО, отношение площадей треугольника AOD и BOC.

Задача 1. Параллелограмм MNKP

Дано: параллелограмм MNKP, где диагональ МК равна 20 см. Точки B и C — середины сторон NK и KP соответственно. Отрезок BC пересекает диагональ МК в точке E.

Нужно найти: МЕ и ЕК.

Разбор задачи:

1. Свойства параллелограмма:

   • Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Это значит, что точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ на две равные части.

2. Точки B и C — середины сторон:

   • Точка B — середина стороны NK, а точка C — середина стороны KP. Таким образом, отрезки NB и BK равны между собой, а отрезки KC и CP также равны между собой.

3. Отрезок BC пересекает диагональ МК:

   • Отрезок BC соединяет середины сторон параллелограмма, а это значит, что отрезок BC является средней линией трапеции, образованной диагоналями параллелограмма.
   • Средняя линия в трапеции параллельна основаниям и равна половине разности длин оснований. В данном случае отрезок BC будет делить параллелограмм на два меньших треугольника.

4. Применение теоремы о делении диагонали:

   • Поскольку отрезок BC проходит через середины сторон, то он будет делить диагональ МК на два отрезка, которые пропорциональны. Точки деления диагонали пропорциональны сторонам, и, поскольку диагональ МК делится на два отрезка, можно сказать, что МЕ и ЕК будут равны.

5. Определение длин МЕ и ЕК:

   • Параллелограмм делится пополам его диагоналями, следовательно, МЕ = ЕК = 10 см (так как МК = 20 см и диагонали параллелограмма делятся пополам).

Ответ: МЕ = 10 см, ЕК = 10 см.

Задача 2. Трапеция ABCD

Дано: трапеция ABCD с основаниями BC = 8 см и AD = 12 см. Диагональ AC = 40 см, и она пересекает диагональ BD в точке O.

Нужно найти: АО и СО, а также отношение площадей треугольников AOD и BOC.

Разбор задачи:

1. Свойства трапеции:

   • В трапеции диагонали не равны, но они пересекаются в точке, которая делит их на отрезки в определенном отношении.

2. Отрезки диагоналей:

   • Из геометрии трапеций известно, что точка пересечения диагоналей делит их на отрезки, которые пропорциональны основаниям трапеции. То есть: $$\frac{АО}{ОС} = \frac{AB}{CD}$$
   • У нас дано, что BC = 8 см и AD = 12 см, соответственно, основание AB (равно 8 см) и основание CD (равно 12 см).

3. Применение пропорции:

   • Используем пропорцию для отрезков диагоналей: $$\frac{АО}{ОС} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$
   • Таким образом, длина отрезка АО будет в два раза меньше длины отрезка СО.

4. Определение длин АО и СО:

   • Поскольку AC = 40 см, и длина AC делится на отрезки АО и СО в отношении 2:3, то мы можем составить систему: $$АО + СО = 40$$ $$\frac{АО}{СО} = \frac{2}{3}$$
   • Пусть АО = 2x и СО = 3x. Тогда: $$2x + 3x = 40$$ $$5x = 40$$ $$x = 8$$
   • Следовательно, АО = 2x = 16 см и СО = 3x = 24 см.

Ответ: АО = 16 см, СО = 24 см.

5. Отношение площадей треугольников AOD и BOC:
   • Площади треугольников, образованных двумя диагоналями трапеции, пропорциональны квадратам длин соответствующих отрезков диагоналей, которые они делят. Площадь треугольника пропорциональна основанию и высоте, и так как эти треугольники имеют общую высоту, их площади пропорциональны основаниям.
   • Следовательно, отношение площадей треугольников AOD и BOC будет равно отношению длин отрезков диагоналей: $$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = \frac{АО}{СО} = \frac{2}{3}$$

Ответ: отношение площадей треугольников AOD и BOC равно 2:3.