Площадь треугольника ABC равна 40. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E , при этом BD:CD = 3: 2 . Найдите площадь четырёхугольника EDCK .

Для решения задачи важно обратить внимание на разбиение треугольника на части и их взаимосвязь. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Площадь треугольника ABC

Дана площадь треугольника ABC: $S_{\triangle ABC} = 40$.

2. Свойства биссектрисы AD

Биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $CD$ в отношении $BD : CD = 3 : 2$. Это значит, что точка $D$ делит сторону $BC$ так, что:

3. Свойства медианы BK

Медиана $BK$ делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника, то есть:

Точка $K$ — середина стороны $AC$, и медиана делит сторону $AC$ пополам.

4. Пересечение биссектрисы и медианы в точке E

Точка $E$ — точка пересечения биссектрисы $AD$ и медианы $BK$. Важно знать, что пересечение биссектрисы и медианы внутри треугольника делит его на части, площадь которых пропорциональна отношениям, в которых стороны делятся биссектрисой и медианой.

5. Нахождение площади четырёхугольника EDCK

Четырёхугольник $EDCK$ образован пересечением частей треугольника $ABC$. Разделим его площадь на несколько частей для понимания.

• Площадь $S_{\triangle ABC} = 40$.
• Часть треугольника $EDCK$ состоит из областей, образованных отрезками $BK$ и $AD$, а также отрезком $CK$, который является частью стороны $AC$.

Пропорции деления

Биссектриса делит площадь треугольника $ABC$ так же, как делит сторону $BC$, то есть в отношении $3 : 2$. Это означает, что:

Отсюда:

Медиана $BK$, в свою очередь, делит треугольник $ABC$ на равные части:

Теперь нужно рассмотреть пересечение областей, учитывая точку $E$. Точка $E$ делит площади четырёхугольника пропорционально долям биссектрисы и медианы.

Итоговый расчёт площади

Четырёхугольник $EDCK$ занимает 2/5 площади треугольника $BKC$, так как точка $D$ делит сторону $BC$ в отношении $3:2$. Таким образом, площадь $S_{EDCK}$ равна:

Ответ:

Площадь четырёхугольника $EDCK$ равна 8.