В равнобедренном треугольнике MOP проведена высота OH. Угол MON равен 30 градусов. Отрезок MH = 3,5см. Найти периметр треугольника MOP.

Давайте подробно разберем задачу:

1. Исходные данные:

   • Треугольник $MOP$ равнобедренный.
   • Угол $\angle MON = 30^\circ$, где точка $N$ — вершина угла при основании.
   • Высота $OH$ проведена из вершины $O$ на основание $MP$.
   • Отрезок $MH = 3.5$ см.

2. Особенности равнобедренного треугольника:

   • Высота, проведенная из вершины на основание, одновременно является медианой и биссектрисой. Следовательно, основание $MP$ делится пополам: $$MH = HP = 3.5 \, \text{см}.$$
   • Полная длина основания $MP$: $$MP = MH + HP = 3.5 + 3.5 = 7 \, \text{см}.$$

3. Построение треугольников: Высота $OH$ делит треугольник $MOP$ на два прямоугольных треугольника $MOH$ и $POH$. Рассмотрим один из них, например, $MOH$, где:

   • $\angle MOH = 15^\circ$ (половина угла $\angle MON = 30^\circ$).
   • $MH = 3.5 \, \text{см}$ — катет, лежащий напротив угла $15^\circ$.
   • $OM$ — равная сторона треугольника $MOP$, которая является гипотенузой.

4. Вычисление гипотенузы $OM$: В прямоугольном треугольнике:

   $$\tan(15^\circ) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{MH}{OH}.$$

   Но для упрощения удобнее воспользоваться тригонометрическим соотношением:

   $$\sin(15^\circ) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{MH}{OM}.$$

   Подставляем известные значения:

   $$OM = \frac{MH}{\sin(15^\circ)}.$$

   Приближенное значение $\sin(15^\circ) \approx 0.2588$, тогда:

   $$OM = \frac{3.5}{0.2588} \approx 13.52 \, \text{см}.$$

5. Периметр треугольника $MOP$: Периметр равен:

   $$P = MP + 2 \cdot OM.$$

   Подставляем значения:

   $$P = 7 + 2 \cdot 13.52 = 7 + 27.04 = 34.04 \, \text{см}.$$

Ответ: Периметр треугольника $MOP$ равен приблизительно $34.04 \, \text{см}$.