В параллелограмме ABCD точки K и L – середины сторон AD и BC соответственно. Будут ли четырехугольники ABLK и CDKL являться параллелограммами?

Для ответа на вопрос нужно провести анализ и доказать, являются ли четырехугольники $ABLK$ и $CDKL$ параллелограммами. Рассмотрим каждый из них по отдельности.

Четырехугольник $ABLK$

Доказательство:

1. $K$ — середина стороны $AD$, а $L$ — середина стороны $BC$.
2. Рассмотрим отрезок $KL$. По свойству средней линии параллелограмма он параллелен основаниям $AB$ и $CD$ (так как $K$ и $L$ — середины противоположных сторон) и равен половине длины этих оснований.
3. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, следовательно:
   • $AB \parallel CD$ и $AB = CD$.
4. Поскольку $KL \parallel AB$ и $KL = \frac{1}{2} AB$, то $KL \parallel AB$ и $KL \parallel AK$ (так как $K$ и $L$ соединяют середины противоположных сторон).
5. $AK \parallel BL$, так как эти отрезки соединяют соответствующие вершины параллелограмма с серединами сторон.
6. У $ABLK$ противоположные стороны $AB \parallel KL$ и $AK \parallel BL$, следовательно, четырехугольник $ABLK$ — параллелограмм.

Четырехугольник $CDKL$

Доказательство:

1. Аналогично первому случаю, точки $K$ и $L$ соединяют середины противоположных сторон $AD$ и $BC$.
2. Отрезок $KL$ является средней линией параллелограмма $ABCD$, следовательно, $KL \parallel AB$ и $KL \parallel CD$, а также $KL = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$.
3. Рассмотрим стороны $CK$ и $DL$:
   • $CK \parallel DL$, так как эти отрезки соединяют вершины $C$ и $D$ с серединами противоположных сторон $AD$ и $BC$.
   • $CK = DL$, так как $ABCD$ — параллелограмм и эти отрезки равны по свойству диагоналей.
4. Таким образом, $CK \parallel DL$ и $CD \parallel KL$, а также $CK = DL$ и $CD = KL$.
5. $CDKL$ удовлетворяет определению параллелограмма, так как противоположные стороны параллельны и равны.

Вывод:

Оба четырехугольника $ABLK$ и $CDKL$ являются параллелограммами, поскольку в каждом случае противоположные стороны параллельны и равны.