Срочно, помогите!
В треугольнике АВС угол С прямой; CD - перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Точка D соединена с А и B.Найдите площадь треугольника ADB, если дано: CA = 3, BC = 2 и CD = 1.

Для решения задачи о площади треугольника $ADB$, давайте последовательно разберемся, как мы можем найти нужные значения, используя данные.

1. Геометрия задачи.

   Мы имеем прямоугольный треугольник $ABC$, где угол $C$ прямой. Это значит, что $\angle ACB = 90^\circ$. Точка $D$ находится на перпендикуляре, опущенном из точки $C$ на плоскость треугольника $ABC$, то есть $CD$ перпендикулярна плоскости треугольника. Мы знаем, что длина перпендикуляра $CD = 1$.

2. Используем координатную систему.

   Чтобы проще работать с этой геометрией, представим треугольник в декартовой системе координат. Пусть точка $C$ находится в начале координат, то есть $C(0, 0, 0)$.

   • Точка $A$ будет на оси $X$, так как угол $\angle ACB = 90^\circ$. Дано, что $CA = 3$, следовательно, $A(3, 0, 0)$.
   • Точка $B$ будет на оси $Y$, так как $\angle ACB = 90^\circ$. Дано, что $BC = 2$, следовательно, $B(0, 2, 0)$.
   • Точка $D$ лежит на прямой, перпендикулярной плоскости $ABC$, и по условию задачи, $CD = 1$. Таким образом, координаты точки $D$ будут $D(0, 0, 1)$.

3. Векторы, определяющие плоскость.

   Для нахождения площади треугольника $ADB$, нам нужно использовать векторы, определяющие его стороны. Векторы можно выразить через координаты точек.

   • Вектор $\overrightarrow{AD}$ — это разность координат точек $D$ и $A$: $$\overrightarrow{AD} = D - A = (0 - 3, 0 - 0, 1 - 0) = (-3, 0, 1)$$
   • Вектор $\overrightarrow{BD}$ — это разность координат точек $D$ и $B$: $$\overrightarrow{BD} = D - B = (0 - 0, 0 - 2, 1 - 0) = (0, -2, 1)$$

4. Векторное произведение.

   Чтобы найти площадь треугольника $ADB$, мы можем использовать формулу для площади треугольника через векторное произведение:

   $$S = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{BD} \|$$

   Сначала найдем векторное произведение $\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{BD}$. Используем формулу для векторного произведения в трехмерном пространстве:

   $$\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$

   Разворачиваем определитель:

   $$\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{BD} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}$$