В прямоугольном треугольнике высота h делит гипотенузу на два отрезка, разность которых равнаи3 см. Найдите наибольший из этих отрезков, если h=2 см.

Задача представляет собой задачу на прямоугольный треугольник с высотой, делящей гипотенузу на два отрезка. Чтобы решить её, давайте используем геометрические свойства прямоугольного треугольника и высоты, проведённой к гипотенузе.

Шаг 1: Обозначения

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB$, прямые углы в вершинах $A$ и $C$. Высота $h$ из вершины $C$ опущена на гипотенузу $AB$, и она делит гипотенузу на два отрезка $AM$ и $MB$, где $M$ — точка, где высота пересекает гипотенузу.

Из условия задачи известно, что разность длин этих отрезков $AM$ и $MB$ равна 3 см:

Также известно, что высота $h = 2$ см.

Шаг 2: Свойства прямоугольного треугольника с высотой

Для прямоугольного треугольника, в котором высота проведена на гипотенузу, существуют следующие геометрические соотношения:

1. Высота $h$ делит гипотенузу на два отрезка, и каждый из этих отрезков является основанием двух прямоугольных треугольников.
2. Произведение длин этих отрезков на гипотенузе равно квадрату длины высоты:

3. Сумма длин этих отрезков равна длине гипотенузы:

Обозначим:

• $AM = x$
• $MB = y$
• $AB = x + y$

Из условия задачи, разность отрезков:

Также из второго свойства:

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $x - y = 3$
2. $x \cdot y = 4$

Шаг 3: Решение системы уравнений

Решим систему с помощью подстановки. Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

Подставим это в второе уравнение:

Раскроем скобки:

Приведём уравнение к стандартному виду:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ равен:

Корни уравнения:

Значения для $y$:

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем $y = 1$.

Шаг 4: Нахождение значения $x$

Теперь, зная, что $y = 1$, подставим это значение в выражение для $x$:

Шаг 5: Ответ

Наибольший из отрезков, который делит гипотенузу, равен $x = 4$ см.

Ответ: наибольший из отрезков гипотенузы равен 4 см.