70 баллов за задачу 8 ого класса!!!! В треугольнике ABC угол A равен 66∘. На продолжениях отрезка BC за точки B и C выбраны такие точки X и Yсоответственно, что AB=BX, AC=CY . Найдите уголXIaY, гдеIa — точка пересечения биссектрис внешних углов B и C треугольника ABC.

Давайте разберем задачу детально. Мы имеем треугольник $ABC$ с углом $A = 66^\circ$. На продолжениях сторон $BC$ за точки $B$ и $C$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $AB = BX$ и $AC = CY$. Нам нужно найти угол $XIaY$, где $I_a$ — точка пересечения биссектрис внешних углов $B$ и $C$.

Шаг 1: Основные свойства и построение

1. Треугольник $ABC$ имеет угол $A = 66^\circ$, а углы $B$ и $C$ обозначим как $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$. По свойству треугольника:

   $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.$$

   Значит:

   $$\beta + \gamma = 114^\circ.$$

2. Точки $X$ и $Y$ выбраны так, что:

   $$AB = BX \quad \text{и} \quad AC = CY.$$

   Это означает, что $ABX$ и $ACY$ — равнобедренные треугольники.

3. Внешние углы $B$ и $C$ образуются продолжением сторон $BC$. Их биссектрисы пересекаются в точке $I_a$.

Шаг 2: Угол при $I_a$

Биссектрисы внешних углов $B$ и $C$ имеют важное свойство: они пересекаются под углом, равным $180^\circ - \angle A$. Причина в том, что $I_a$ — центр внешне вписанной окружности, а биссектрисы внешних углов перпендикулярны направлениям сторон треугольника.

Следовательно:

Подставляем $\angle A = 66^\circ$:

Ответ

Угол $X I_a Y$ равен $114^\circ$.