В треугольнике $ABC$ ∠$A$ = ∠$B$. На сторонах $AC$ и $BC$ отложены соответственно точки $D$ и $E$ так, что ∠$ACD$ = ∠$BCE$. Докажите, что треугольники $ACD$ и $BCE$ равны.

Для того чтобы доказать, что треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ равны, давайте внимательно разберем условия задачи.

Условие задачи:

• В треугольнике $ABC$ углы $\angle A = \angle B$, то есть треугольник равнобедренный.
• На сторонах $AB$ и AC \ отложены точки \( D и $E$, соответственно, такие, что $\angle ADC = \angle BDC$.

Необходимо доказать, что треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ равны.

Решение:

1. Равенство углов:
   По условию задачи нам известно, что $\angle A = \angle B$ (в треугольнике $ABC$). Также нам даны углы $\angle ADC = \angle BDC$, которые имеют общую вершину $D$. То есть, углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ равны.

2. Стороны $AC$ и $BC$ общие:
   Заметим, что стороны $AC$ и $BC$ общие для треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$.

3. Равенство углов при вершинах $D$:
   Мы знаем, что $\angle ADC = \angle BDC$. Это еще одно условие, которое дает нам равенство углов при вершине $D$ в обоих треугольниках.

4. Признак равенства треугольников (по двум углам и стороне):
   Теперь у нас есть два треугольника, у которых:

   • Сторона $AC = BC$ (общая сторона).
   • Углы $\angle A = \angle B$ (по условию).
   • Углы $\angle ADC = \angle BDC$ (по условию).

   С учетом этого, треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ совпадают по двум углам и одной стороне, что по признаку равенства треугольников (по двум углам и прилежащей стороне) означает, что эти треугольники равны.

Заключение:
Треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ равны, так как они удовлетворяют всем условиям для применения признака равенства треугольников (по двум углам и одной стороне).