Сторона ромба равна 78 корень 3,острый угол равен 60 градусов.
Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.

Для решения задачи найдем радиус вписанной окружности ромба, используя свойства ромба и его геометрические характеристики.

Дано:

1. Сторона ромба $a = 78\sqrt{3}$.
2. Острый угол ромба $\alpha = 60^\circ$.

В ромб можно вписать окружность, если его стороны равны, а все углы противоположные. Радиус вписанной окружности можно найти через формулу:

где:

• $S$ — площадь ромба,
• $P$ — периметр ромба.

Шаг 1. Найдем периметр ромба

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон:

Подставим значение стороны $a$:

Шаг 2. Найдем площадь ромба

Площадь ромба можно вычислить по формуле через длину стороны и угол между ними:

Подставим значения $a = 78\sqrt{3}$ и $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Выполним расчеты:

1. $(78\sqrt{3})^2 = 78^2 \cdot 3 = 6084 \cdot 3 = 18252$,
2. $S = 18252 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9126\sqrt{3}.$

Шаг 3. Найдем радиус вписанной окружности

Теперь можем найти радиус:

Подставим $S = 9126\sqrt{3}$ и $P = 312\sqrt{3}$:

Сократим $\sqrt{3}$:

Выполним деление:

Ответ:

Радиус вписанной в ромб окружности равен 29.25.