Сторона ромба равна 1, острый угол равен  30. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба

Чтобы найти радиус вписанной окружности ромба, нужно использовать несколько геометрических свойств ромба и формулы для радиуса вписанной окружности в многоугольниках.

1. Свойства ромба:

   • Все стороны ромба равны. В данном случае, сторона ромба $a = 1$.
   • В ромбе противоположные углы равны, и сумма углов в каждой вершине равна 360°.

2. Радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности ромба можно найти по формуле для радиуса вписанной окружности в произвольный четырёхугольник:

   $$r = \frac{S}{p}$$

   где:

   • $r$ — радиус вписанной окружности,
   • $S$ — площадь ромба,
   • $p$ — полупериметр ромба.

3. Площадь ромба: Площадь ромба можно найти через сторону и синус угла между соседними сторонами. Площадь ромба вычисляется по формуле:

   $$S = a^2 \sin \alpha$$

   где $a$ — длина стороны ромба, $\alpha$ — острый угол между соседними сторонами (в данном случае $\alpha = 30^\circ$).

   Подставляем известные значения:

   $$S = 1^2 \cdot \sin 30^\circ = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

4. Полупериметр ромба: Полупериметр ромба — это половина периметра. Периметр ромба равен 4 умноженному на длину его стороны:

   $$p = \frac{4a}{2} = 2a$$

   Подставляем $a = 1$:

   $$p = 2$$

5. Радиус вписанной окружности: Теперь, используя формулу для радиуса, подставим значения для площади и полупериметра:

   $$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$

Таким образом, радиус вписанной окружности ромба равен $\frac{1}{4}$.