Трапеция АБСД

АД и БС основания, АД больше БС.
На стороне АД отмеченна точка Е так что ЕБСД параллелограмм. Периметр трапеции
32 см ДЕ 5 см, найти пиреметр треугольника АБЕ

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

1. АБСД — трапеция, где $АД$ и $БС$ — основания, причём $АД > БС$.
2. На стороне $АД$ отмечена точка $Е$ так, что $ЕБСД$ — параллелограмм.
3. Периметр трапеции: $P_{\text{трапеции}} = 32 \, \text{см}$.
4. $ДЕ = 5 \, \text{см}$.

Нужно найти периметр треугольника $АБЕ$.

Решение:

1. Свойства параллелограмма $ЕБСД$:

   • В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно: $$ЕБ = ДС \quad \text{и} \quad ЕД = БС.$$

2. Стороны трапеции:

   • Пусть: $$АД = a, \quad БС = b, \quad АБ = c, \quad ДС = d.$$
   • Поскольку $ЕБСД$ — параллелограмм, $ДЕ = БС$, а значит: $$БС = b = 5 \, \text{см}.$$

3. Периметр трапеции:

   • Периметр трапеции равен сумме всех её сторон: $$P_{\text{трапеции}} = АД + БС + АБ + ДС.$$
   • Подставляем известное: $$a + b + c + d = 32.$$
   • Подставляем $b = 5$: $$a + 5 + c + d = 32.$$ $$a + c + d = 27.$$

4. Связь $АД$ и $ДС$:

   • По свойствам параллелограмма $ЕБСД$, $ЕД = БС = 5$. Значит: $$АД = АЕ + ЕД = АЕ + 5.$$
   • Пусть $АЕ = x$, тогда $АД = x + 5$.

5. Выражение для $ДС$:

   • Так как $ДС = ЕБ$ (стороны параллелограмма), а $ЕБ$ — часть $АБ$, можем обозначить $ЕБ = y$. Тогда: $$ДС = y.$$

6. Периметр трапеции через $x$ и $y$:

   • Подставим в формулу периметра: $$(x + 5) + 5 + АБ + y = 32.$$
   • $АБ = x + y$ (так как $АБ = АЕ + ЕБ$), значит: $$(x + 5) + 5 + (x + y) + y = 32.$$ $$2x + 2y + 10 = 32.$$ $$2x + 2y = 22.$$ $$x + y = 11.$$

7. Периметр треугольника $АБЕ$:

   • Стороны треугольника $АБЕ$:
     • $АБ = x + y = 11$,
     • $АЕ = x$,
     • $ЕБ = y$.
   • Периметр треугольника: $$P_{\text{треугольника}} = АЕ + ЕБ + АБ.$$ Подставляем значения: $$P_{\text{треугольника}} = x + y + (x + y) = 2(x + y).$$ $$P_{\text{треугольника}} = 2 \cdot 11 = 22 \, \text{см}.$$

Ответ:

Периметр треугольника $АБЕ$ равен 22 см.