Основание прямого параллелепипеда - ромб с периметром 20 см, диагонали которого относятся как 3:4.

Ответы на вопрос

Отвечает Белякова Вика.

Давайте разберем задачу подробно и пошагово.

Основание прямого параллелепипеда — ромб.
Периметр ромба $P = 20 \, \text{см}$ .
Отношение диагоналей ромба $d_1 : d_2 = 3 : 4$ .
Объем параллелепипеда равен объему куба с ребром $6 \, \text{см}$ : $V_{\text{параллелепипеда}} = 6^3 = 216 \, \text{см}^3$ .

Высоту параллелепипеда $h$ .

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Обозначим сторону ромба через $a$ . Так как у ромба все стороны равны:

P = 4a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{P}{4} = \frac{20}{4} = 5 \, \text{см}.

Формула для площади ромба через диагонали:

S = \frac{1}{2} d_1 d_2.

Но площадь также может быть выражена через сторону и угол ромба:

S = a^2 \sin \alpha.

Так как у нас известны отношение диагоналей $d_1 : d_2 = 3 : 4$ , обозначим их через $3x$ и $4x$ .

Подставим диагонали в формулу для площади:

S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} (3x)(4x) = 6x^2.

Используем формулу площади через сторону:

S = a^2 \sin \alpha = 5^2 \sin \alpha = 25 \sin \alpha.

Теперь имеем два выражения для площади:

6x^2 = 25 \sin \alpha.

Существует связь между диагоналями ромба и его стороной:

a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2.

Подставим диагонали $d_1 = 3x$ и $d_2 = 4x$ :

5^2 = \left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{4x}{2}\right)^2.

Распишем:

25 = \left(\frac{9x^2}{4}\right) + \left(\frac{16x^2}{4}\right).

25 = \frac{25x^2}{4}.

Умножим обе части на 4:

100 = 25x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2.

Теперь подставим $x = 2$ :

d_1 = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{см}, \quad d_2 = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \, \text{см}.

Используем формулу для площади через диагонали:

S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \, \text{см}^2.

Объем параллелепипеда выражается как произведение площади основания на высоту:

V = S \cdot h.

Из условия задачи:

V = 216 \Rightarrow

Ответы на вопрос