Площади подобных треугольников равны 50дм2 и 32дм2б, сумма их периметров равна 117дм. Найдите периметр каждого треугольника

Задача сводится к поиску периметров двух подобных треугольников, зная их площади и сумму периметров.

1. Определим отношение подобия: Для подобных треугольников площади пропорциональны квадрату отношения их сходственных сторон. Обозначим это отношение за $k$. То есть:

   $$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$

   где $S_1 = 50$ дм² — площадь первого треугольника, $S_2 = 32$ дм² — площадь второго треугольника.

   Подставим значения:

   $$\frac{50}{32} = k^2$$

   Упростим дробь:

   $$\frac{50}{32} = \frac{25}{16}$$

   Теперь извлечём квадратный корень:

   $$k = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$$

   Это означает, что все соответствующие стороны первого треугольника в 5/4 раза больше, чем у второго треугольника.

2. Связь между периметрами: Периметры подобных треугольников также пропорциональны соответствующим сторонам. Пусть $P_1$ и $P_2$ — периметры первого и второго треугольников. Тогда:

   $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{5}{4}$$

   Также известно, что сумма периметров обоих треугольников равна 117 дм:

   $$P_1 + P_2 = 117$$

3. Составим систему уравнений: Из соотношения периметров $\frac{P_1}{P_2} = \frac{5}{4}$ выразим $P_1$ через $P_2$:

   $$P_1 = \frac{5}{4} P_2$$

   Подставим это в уравнение суммы периметров:

   $$\frac{5}{4} P_2 + P_2 = 117$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{5}{4} P_2 + \frac{4}{4} P_2 = 117$$ $$\frac{9}{4} P_2 = 117$$

   Умножим обе части уравнения на 4:

   $$9 P_2 = 468$$

   Разделим на 9:

   $$P_2 = 52$$

4. Найдем $P_1$: Теперь, зная $P_2 = 52$, подставим это в выражение для $P_1$:

   $$P_1 = \frac{5}{4} \times 52 = 65$$

5. Ответ: Периметр первого треугольника равен 65 дм, а периметр второго — 52 дм.