6) Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB не равна BC и угол A острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что BMDK-параллелограмм

Для того чтобы доказать, что фигура BMDK является параллелограммом, воспользуемся свойствами параллелограммов и теоремами о перпендикулярных линиях. Прежде чем приступить к доказательству, давайте обозначим все элементы и формулируем наши исходные данные.

Исходные данные:

• ABCD — параллелограмм, где $AB \neq BC$ и угол $\angle A$ острый.
• Проведены перпендикуляры $BK$ и $DM$ от вершин $B$ и $D$ соответственно к прямой $AC$.
• Нужно доказать, что фигура BMDK является параллелограммом.

Шаги доказательства:

1. Перпендикулярность BK и DM к прямой AC: По определению перпендикуляра, $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$. Это означает, что углы $\angle BKD$ и $\angle DMK$ — прямые, то есть равны 90 градусам.

2. Равенство отрезков BK и DM: Так как $BK$ и $DM$ — перпендикуляры к одной и той же прямой $AC$, то они равны по длине. Это следует из того, что в параллелограмме противоположные стороны равны, а перпендикуляры к одной и той же прямой, проведенные из разных точек, имеют одинаковую длину.

3. Параллельность сторон BMDK: Чтобы доказать, что фигура BMDK является параллелограммом, нужно доказать, что противоположные стороны параллельны. Для этого нужно показать, что вектора, соединяющие противоположные вершины параллелограмма, равны по направлению и длине.

   Рассмотрим вектор $\overrightarrow{BM}$ и вектор $\overrightarrow{DK}$. Мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны параллельны, и таким образом, вектор $\overrightarrow{BM}$ будет параллелен вектору $\overrightarrow{DK}$.

   Аналогично, для сторон $\overrightarrow{BK}$ и $\overrightarrow{DM}$, они также будут параллельны, поскольку они перпендикулярны прямой $AC$ и лежат на одной прямой, проходящей через вершины B и D.

4. Равенство противоположных сторон: Вектор $\overrightarrow{BM}$ и вектор $\overrightarrow{DK}$ равны по длине, так как расстояние от точки B до прямой AC равно расстоянию от точки D до этой же прямой. То же самое справедливо и для векторов $\overrightarrow{BK}$ и $\overrightarrow{DM}$.

5. Заключение: Поскольку векторы, соединяющие противоположные вершины, равны по длине и направлению, то фигура BMDK является параллелограммом.