ПОМОГИТЕ СРОЧНО!!!
Дан прямоугольник FMNK, О – точка пересечения его диагоналей. Точка D симметрична точке О относительно стороны FK. Докажите, что четырёхугольник FOKD – ромб. Найдите его периметр, если стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Условие:

• Дана фигура: прямоугольник $FMNK$, где:
  • $O$ — точка пересечения диагоналей.
  • Точка $D$ симметрична точке $O$ относительно стороны $FK$.
• Требуется доказать, что четырёхугольник $FOKD$ является ромбом.
• Найти периметр ромба, если стороны прямоугольника равны $6 \, \text{см}$ и $8 \, \text{см}$.

Шаг 1: Свойства прямоугольника

1. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Это означает, что $O$ делит диагонали $FM$ и $NK$ на равные части.

2. Если стороны прямоугольника равны $a = 6 \, \text{см}$ (высота) и $b = 8 \, \text{см}$ (ширина), то диагонали прямоугольника $FM$ и $NK$ равны:

   $$\text{Длина диагонали} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}.$$

   Значит, каждая половина диагонали равна $5 \, \text{см}$.

3. Координаты точек прямоугольника можно задать для удобства. Пусть $F(0, 0)$, $M(8, 0)$, $N(8, 6)$, $K(0, 6)$. Тогда диагонали пересекаются в точке $O$ с координатами $(4, 3)$, поскольку это середина отрезков $FM$ и $NK$.

Шаг 2: Точка $D$

Точка $D$ симметрична $O$ относительно стороны $FK$. Напомним, что сторона $FK$ лежит на прямой $x = 0$, так как $FK$ проходит вертикально через $F(0, 0)$ и $K(0, 6)$.

1. Симметрия относительно прямой $x = 0$ означает, что абсцисса $x$ у точки $D$ меняет знак на противоположный, а ордината $y$ остаётся неизменной.
2. Координаты точки $D$ получаются из координат точки $O(4, 3)$ путём отражения: $$D(-4, 3).$$

Шаг 3: Доказательство, что $FOKD$ — ромб

Чтобы доказать, что $FOKD$ является ромбом, нужно показать, что все его стороны равны.

1. Рассчитаем длины сторон $FO$, $OK$, $KD$, $DF$:

   • Длина $FO$: $$FO = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \, \text{см}.$$
   • Длина $OK$: $$OK = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \, \text{см}.$$
   • Длина $KD$: $$KD = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \, \text{см}.$$
   • Длина $D\mathrm{F<}$