Сфера проходит через три вершины ромба со стороной, равной 6 см, и углом 60o . Найдите расстояние от центра сферы до четвертой вершины ромба, если радиус сферы равен 10 см.

Пожалуйста с решением!

Для решения этой задачи нужно использовать геометрические свойства ромба и сферы. Давайте пошагово разберём решение:

Дано:

1. Ромб:
   • Сторона $a = 6 \, \text{см}$,
   • Угол между сторонами $\angle A = 60^\circ$.
2. Сфера:
   • Радиус $R = 10 \, \text{см}$.
   • Центр сферы — $O$.
3. Три вершины ромба лежат на сфере.

Нужно найти расстояние от центра сферы $O$ до четвёртой вершины ромба.

Шаг 1. Найдём координаты вершин ромба.

Ромб описан, стороны равны, угол $60^\circ$, поэтому ромб — правильный. Если расположить одну из вершин в начале координат $A(0, 0)$, соседние вершины можно записать как:

• $B(a, 0) = (6, 0)$,
• $D(a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ) = \left( 6 \cdot \frac{1}{2}, 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = (3, 3\sqrt{3})$.

Четвёртая вершина ромба $C$ симметрична точке $D$ относительно точки $B$. Тогда:

• Координаты точки $C = (6 - 3, -3\sqrt{3}) = (3, -3\sqrt{3})$.

Итак, вершины ромба:

• $A(0, 0)$,
• $B(6, 0)$,
• $D(3, 3\sqrt{3})$,
• $C(3, -3\sqrt{3})$.

Шаг 2. Центр сферы и радиус.

Центр сферы $O(x_O, y_O, z_O)$ одинаково удалён от трёх вершин, скажем, $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, и $D(3, 3\sqrt{3})$. Радиус сферы равен 10 см, то есть расстояния $OA$, $OB$, $OD$ равны $10 \, \text{см}$.

Используем уравнение расстояния в трёхмерном пространстве для точки $O(x_O, y_O, z_O)$ до точки $P(x, y, z)$:

Подставим координаты вершин $A$, $B$, $D$:

1. Для $A(0, 0)$:

2. Для $B(6, 0)$:

3. Для $D(3, 3\sqrt{3})$: