1) Вершины В и С треугольника АВС лежат в плоскости . Вершина А ей не принадлежит. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и АС, параллельна плоскости .

Доказательство параллельности прямой плоскости:

Дано:

• Треугольник $\triangle ABC$.
• Точки $B$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$.
• Точка $A$ не принадлежит плоскости $\alpha$.
• Прямая $d$ проходит через середины отрезков $AB$ и $AC$.

Требуется доказать:
Прямая $d$ параллельна плоскости $\alpha$.

Ход доказательства:

1. Свойство плоскости и отрезков:
   Поскольку точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, отрезки $AB$ и $AC$ пересекают плоскость $\alpha$ только в своих концах $B$ и $C$. Точка $A$, как указано, находится вне плоскости $\alpha$.

2. Определение прямой $d$:
   Пусть точка $M$ — середина отрезка $AB$, а точка $N$ — середина отрезка $AC$. Прямая $d$ проходит через точки $M$ и $N$.

3. Векторное представление точек $M$ и $N$:
   Координаты точки $M$:

   $$M = \frac{1}{2} (A + B),$$

   где $A$ и $B$ — координаты точек.

   Координаты точки $N$:

   $$N = \frac{1}{2} (A + C).$$

4. Направляющий вектор прямой $d$:
   Вектор $\vec{MN}$ направляющий для прямой $d$:

   $$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \frac{1}{2}(A + C) - \frac{1}{2}(A + B) = \frac{1}{2}(C - B).$$

   Таким образом, направляющий вектор $\vec{MN}$ прямой $d$ пропорционален вектору $\vec{BC}$.

5. Расположение вектора \vec{BC} ** относительно плоскости \( \alpha:
   Вектор $\vec{BC}$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, так как точки $B$ и $C$ принадлежат $\alpha$.

6. Свойство прямой и плоскости:
   Если направляющий вектор прямой $d$ параллелен вектору, лежащему в плоскости $\alpha$, и при этом прямая $d$ не пересекает плоскость $\alpha$ (кроме случая совпадения), то прямая $d$ параллельна плоскости $\alpha$.

   Прямая $d$, проходящая через точки $M$ и $N$, не пересекает $\alpha$, так как точка $A$, из которой формируются середины $M$ и $N$, не принадлежит $\alpha$.

Вывод:

Прямая $d$, проходящая через середины отрезков $AB$ и $AC$, параллельна плоскости $\alpha$, так как направляющий вектор $\vec{MN}$ прямой $d$ параллелен вектору $\vec{BC}$, лежащему в $\alpha$, а точка $A$, создающая смещение, исключает пересечение прямой с $\alpha$.