В треугольнике АВС АВ= 4 см, ВС = 3 см, АС= 5см. Докажите, что АВ-отрезок касательной, проведенной из точки А к окружности с центром в точки С и радиусом 3 см

Чтобы доказать, что $AB$ является отрезком касательной, проведённой из точки $A$ к окружности с центром в точке $C$ и радиусом $3 \, \text{см}$, нужно проверить выполнение геометрических условий касания:

Шаг 1. Проверьте, что треугольник $ABC$ является прямоугольным

Если $AB$, $BC$, $AC$ являются сторонами треугольника, для того чтобы треугольник был прямоугольным, должно выполняться теорема Пифагора:

Подставим значения:

Вычислим:

Получаем:

Следовательно, треугольник $ABC$ является прямоугольным, и гипотенуза $AC = 5 \, \text{см}$.

Шаг 2. Проверьте, что $AB$ является касательной

Для того чтобы $AB$ была отрезком касательной к окружности с центром $C$ и радиусом $3 \, \text{см}$, необходимо показать, что отрезок $AB$ перпендикулярен радиусу окружности, проведённому в точку касания $B$.

Из условия видно, что:

• Радиус окружности равен $3 \, \text{см}$, то есть $BC = 3 \, \text{см}$.
• В прямоугольном треугольнике $ABC$, угол при вершине $B$ прямой ($\angle ABC = 90^\circ$).

Так как угол между радиусом $BC$ и отрезком $AB$ равен $90^\circ$, отрезок $AB$ действительно является касательной к окружности.

Шаг 3. Подтверждение выполнения всех условий

• Радиус $BC$ соединяет центр окружности $C$ с точкой $B$ на окружности.
• $AB$ перпендикулярен радиусу $BC$ в точке касания $B$, что является определением касательной.

Вывод:

Отрезок $AB = 4 \, \text{см}$ является касательной, проведённой из точки $A$ к окружности с центром в точке $C$ и радиусом $3 \, \text{см}$.